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1、 Week 4,5- 2 -統計模型: 隨機變數 (Random Variable)離散型 (discrete variable) -離散型的變數一般為類別 (category) 或變數取值有一定的間隔, 類別例如性別,老中青年齡分類別,職業別,婚姻狀況別等所有分門別類或分組。變數取值有一定的間隔每家中人口數, 每家中投票數,每週外食天數等數值變數。連續型 (continuous variable) - 變數取值間可小到任意小的程度 (忽略儀器的測量極限,而且小的程度視問題而定) 例如身高,體重,生物測量值,國家人口數,新竹市投票數此地“任意小”或“間隔”往往必須視問題而定，例如每家小孩數目可
2、視為離散變數；然而，若各國之人口數目則可視為連續變數。實際上，連續的變數為一種理想狀況，僅為方便分析或建立模式用。例如收入，二者之收入有一定間隔（錢幣之最小單位），但一般仍視為連續變數。連續的變數可經由分組而離散化，而離散的變數亦可藉由數量化而連續化（例如，住地變成距離、教育水準變成教育年數）。如何描述隨機變數 離散型: probability mass function, probability density function (p.d.f.) （機率密度函數） f(x)cumulative distribution function (c.d.f.) (累積分配函數)F(x)連續型: d
3、ensity function, probability density function (p.d.f.) （機率密度函數） f(x)cumulative distribution function (c.d.f.) (累積分配函數)F(x)基本離散型變數、離散型機率模型1 白努力分布(Bernoulli distribution)：二分化結果 , 白努力家族：17，18世紀瑞士最有名的科學家族。一家三代共有8名數學家與物理學家。”Bernoulli number” 及“Bernoulli 分布”均源自此家族。例如：同意與否；有生病與無生病；有感染與否；事件有無發生；零件作用與否；系統作用與
4、否；動物有被捕取與否。2二項分布(Binomial distribution)：作了 n 次獨立白努力實驗 ： n 次中得到成功之個數例如：核能廢料運送100次輻射外洩次數；測試某零件200個其中不良品之個數；城市感染某病之人數；歸還取樣中同意之人數。幸運輪盤(wheel of fortune):冒險家自1-6中任選一個數字，下注一元。莊家丟三個骰子，若選定的數字出現次，=1,2,3則莊家賠元，若該數字沒出現則冒險家輸，賭注歸莊家。冒險家平均贏或輸有多少？3卜瓦松分布 (Poisson distribution)：卜瓦松 (1781-1840) 法國人，寫了300篇關於數學，天文，物理的論文。
5、 Bortkiewiczs Data（18681931）：最早的Poisson Data 被馬踢死人數騎兵隊數機率分布配適數目014419123231142 280（平均值0.7）例如：在某一固定時間；描述重大意外事件之次數或頻率；某時間內捕取動物之數目；某地區感染疾病之人數。用來表示發生次數之平均值4超幾何分布（Hypergeometric Distribution）設在人群中有m 個男性,n個女性,任取r個人（不歸還取樣）令X：男性的個數, max(0, r-n)xmin(r, m)例如：不歸還抽樣中滿意施政之人數；重複捕取中有記號之動物。5負二項分布（Negative Binomial
6、Distribution） NB(r,p)在白努力實驗中,假設欲取到r個成功始停止,所需要的實驗次數X = 等到第r次成功之次數,X = r，r+1，.或令 Y = X r, , Y = 0, 1, 特例：r = 1稱為幾何分布（Geometric Distribution）例如：歸還抽樣中至抽到50個男性停止；動物捕取中直到抽到某一稀有種為止。6離散均勻分布（Discrete Uniform Distribution）X x1，x2，xk； P(X = xk) = 1/k； 例題：生日的分布, 彩卷數字分布。7多項分布（Multinomial Distribution）MN(n;p1,p2,
7、pK)地區中有種類為j之比率為pj,(j =1, 2, ,K). 今歸還取樣n 次, 令Xj 為n次中種類為j之數目,.例如：某一地區鳥種之分布；人類血型之分布；數種基因形式之分布。利用R 計算各項機率密度或累積機率分配 (1) Poisson分配：l R code:rpois(n, lambda)隨機生成Poisson資料(n:生成筆數)dpois(x, lambda)計算在的機率密度函數ppois(x, lambda)計算累積機率 qpois(p, lambda)算出百分位點對應的值l Example: #以”被馬踢死人數”為例，平均值=0.7#做”被馬踢死人數”實驗10次rpois(10
8、, 0.7)#被馬踢死人數等於1時的機率dpois(1, 0.7)#被馬踢死人數小於等於5的機率ppois(5, 0.7)；sum(dpois(0:5, 0.7)#算出百分位點對應的值qpois(0.4, 0.7)(2) Binomial分配：l R code:rbinom(n, size, prob)隨機生成Binomial資料(n:生成筆數；size:試驗次數；prob:成功機率)dbinom(x, size, prob)計算在的機率密度函數pbinom(x, size, prob)計算累積機率 qbinom(p, size, prob)算出百分位點對應的值l Example: #若X為5
9、次白努力實驗中得到成功之個數，成功的機率為0.4#生成三次結果rbinom(3, 5, 0.4)#計算兩次成功的機率dbinom(2, 5, 0.4)#計算成功次數小於等於4的機率pbinom(4, 5, 0.4)；sum(dbinom(0:4, 5, 0.4)#算出百分位點對應的值qbinom(0.8, 5, 0.4)(3) Hypergeometric分配：l R code:rhyper(nn, m, n, k)隨機生成Hypergeometric資料(nn:生成筆數；m、n:兩類個數；k:抽取個數)dhyper(x, m, n, k)計算在的機率密度函數phyper(x, m, n, k
10、)計算累積機率 qhyper(p, m, n, k)算出百分位點對應的值l Example: #若一班中男生有15人，女生有20人，現任取5人#生成三次結果(結果為抽到的男生人數)rhyper(3, 15, 20, 5)#計算抽到兩位男生的機率dhyper(2, 15, 20, 5)#計算抽到男生人數小於等於4的機率phyper(4, 15, 20, 5)；sum(dhyper(0:4, 15, 20, 5)#算出百分位點對應的值qhyper(0.8, 15, 20, 5)(4) Negative-Binomial分配：l R code:rnbinom(n, size, prob)隨機生成Ne
11、gative-Binomial資料(n:生成筆數；size:直到size次成功；prob:成功機率)dnbinom(x, size, prob)計算在的機率密度函數pnbinom(x, size, prob)計算累積機率 qnbinom(p, size, prob)算出百分位點對應的值l Example: #若X為白努力實驗中直到10次成功所需失敗次數，成功的機率為0.6#生成三次結果rnbinom(3, 10, 0.6)#計算所需失敗次數為2的機率dnbinom(2, 10, 0.6)#計算所需失敗次數小於等於5的機率pnbinom(5, 10, 0.6)；sum(dnbinom(0:5,
12、10, 0.6)#算出百分位點對應的值(結果為失敗次數)qnbinom(0.8, 10, 0.6)統計資料分析習題 學號_ 系級_姓名_1.在1901-2000百年間，全球有37年無強震(六級以上) ，26年有一次六級以上強震，23年有兩次，8年有三次，1年有四次，2年有五次，2年有六次，1年有七次，共129次，平均 1.29次。試以卜瓦松模式描述此數據。強震次數年數機率分布配適數目03712622338= 46有人想預測未來一年間均無強震之機會，如何利用以上模式預測?2. (Gosset1900年的實驗)在400個培養皿中，酵母菌的個數如下：酵母菌個數培養皿數目機率分布配適數目0103114
13、3298342485462(a)配適一個卜瓦松分布(b)某人的下一個實驗中，培養皿中沒有產生一個酵母菌的機會有多少？(c)某人的下一個實驗中，培養皿中產生三個以上酵母菌的機會有多少？3. 1986年，美國德州某郡發生了18個百日咳病例(當時該郡人口2,942,550)若百日咳全國罹病率為1.2/100,000人，則該地是否可適用全國罹病率？(假設該地區發生百日咳病例為卜瓦松分布，若全國罹病率適合，則可利用卜瓦松分布且=1.2*29.4255=35.31，計算在此情況下人數少於或等於18的機率有多少？)4. 假設男女比例約為104：96，若一家庭有四個小孩，則 4男之機會為（ ）（ %） 3男1女機會為（ ）（ %） 2男2女機會為（ ）（ %） 1男3女機會為（ ）（ %） 4女之機會為（ ）（ %） 哪一種情形為最多？( ) 5. (a) 丟2次銅板，恰有1個正面，1 個反面的機會 = ( %) (b) 丟4次銅板，恰有2個
