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1、浙江省诸暨市2018届高三上学期期末考试数学试题一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,那么( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】,所以,选A.2. 已知复数满足 (为虚数单位),则复数( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为,所以 ,选B.3. 若满足约束条件,则的最大值等于( )A. 7 B. 6 C. 5 D. 4【答案】B【解析】作可行域,则直线过点(2,0)时取最大值6,选B.点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目
2、标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】或异面;位置关系不定;位置关系不定;所以选C.5. 等比数列中,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】 或,得不到 因此“”是“”的充分不必要条件,选A.点睛:充分、必要条件的三种判断方法1定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合,例如“”为真,
3、则是的充分条件2等价法:利用与非非,与非非,与非非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法3集合法:若,则是的充分条件或是的必要条件;若,则是的充要条件6. 如图,已知点是抛物线上一点,以为圆心,为半径的圆与抛物线的准线相切,且与轴的两个交点的横坐标之积为5,则此圆的半径为( )A. B. 5 C. D. 4【答案】D【解析】由抛物线定义得与轴的两个交点必有一个为焦点(1,0),所以另一个交点为(5,0). 因此选D.点睛:1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点,由定义易得;若过焦点的弦 AB的端点坐标为,则弦长为可由根与系数的
4、关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到7. 已知都是定义在上的函数,且为奇函数,图象关于直线对称,则下列四个命题中错误的是( )A. 为偶函数 B. 为奇函数C. 函数图象关于直线对称 D. 为偶函数【答案】B【解析】因为,所以为偶函数;因为,所以函数图象关于直线对称;因为,所以为偶函数;因为不一定与相等,所以不一定为奇函数,选B.8. 已知双曲线的标准方程,为其左右焦点,若是双曲线右支上的一点,且,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设,所以 因此 选A. 点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确
5、立一个关于的方程或不等式,再根据的关系消掉得到的关系式,而建立关于的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9. 已知的导函数,若满足,且,则的解析式可能是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,所以舍去B;因为导数为 , ,舍A;因为导数为 , ,满足题意;因为导数为 , ,舍D;综上选C.10. 已知,满足,点为线段上一动点,若最小值为,则的面积( )A. 9 B. C. 18 D. 【答案】D【解析】设 则所以 ,所以 从而的面积 ,选D. 点睛:(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决
6、某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用:载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.二、填空题(多空题每小题6分,单空题每小题4分,满,36分,将答案填在答题纸上)11. 等差数列的前项和为,若,则公差_;通项公式_【答案】 (1). 1 (2). 【解析】因为,所以 12. 某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体最长的一条棱的长度
7、是_;体积为_.【答案】 (1). (2). . . . . . . .13. 如图是函数的部分图象,已知函数图象经过点两点,则_;_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】由题意得 因为 因为,所以 .14. 已知,则_;则_【答案】 (1). 1 (2). 60【解析】令 得:1=因为 ,所以 点睛:赋值法研究二项式的系数和问题15. 编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个不同的盒子中,每个盒子放一个球,则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为_【答案】【解析】编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个不同的盒子中,每个盒子放一
8、个球,共有 种基本事件,其中有两个球的编号与盒子的编号相同基本事件有(1,2,4,3),(1,4,3,2),(1,3,2,4),(4,2,3,1),(3,2,1,4),(2,1,3,4),共6种其中有四个球的编号与盒子的编号相同基本事件有(4,3,2,1)因此至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为 点睛:古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法:适用于限制条件较多且
9、元素数目较多的题目.16. 已知都是正数,且,则的最小值等于_【答案】【解析】因为,所以 因此 当且仅当时取等号,因此的最小值等于点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.17. 已知,若对于任意的恒成立,则_【答案】【解析】 对于任意的恒成立,所以 即为所以, 因此 此时 .点睛:两边夹也是求解或求证不等式相关问题的一个重要方法,通过对范围的不断缩小,直至达成目标,是极限思想的一种体现.三、解答题 (本大题共5小题,共74分.
10、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18. 中,内角的对边分别是,且.(1)求角;(2)若,求的最大值.【答案】(1);(2)4【解析】试题分析:(1)根据正弦定理将边角关系转化为角的关系,根据诱导公式化简可得即得角;(2)先根据余弦定理得,再利用基本不等式得的最大值.试题解析:(1)由正弦定理得,化简得:(2)由余弦定理得(等号当且仅当时成立)的最大值为4. 19. 如图,空间几何体中,四边形是边长为2的正方形,,.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)【解析】试题分析:(1)先根据平几知识计算得,再根据线面垂直判定定理得结论,(2)先根据条
11、件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得平面法向量,利用向量数量积得向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.试题解析:(1)证明:等腰梯形中,故在中,所以平面(2)作于,以为轴建立如图的空间直角坐标系,则求得平面的法向量为又,所以即与平面所成角的正弦值等于20. 已知函数的图象在处的切线方程是.(1)求的值;(2)求证函数有唯一的极值点,且.【答案】(1);(2)见解析【解析】试题分析:(1)先根据导数几何意义得解得,再根据切点在曲线上也在切线上求b,(2)先求导数,再研究导函数单调性,根据零点存在定理确定函数有唯一的极值点,再根据零点条件代入,化简为一个对勾函数,根据函数
12、性质求最小值,即证不等式.试题解析:(1),由得切线方程为,所以(2)令则所以当时,单调递减,且此时,在内无零点.又当时,单调递增,又所以有唯一解,有唯一极值点 由,又,21. 已知椭圆的离心率为,且经过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点的直线交椭圆于两点,是轴上的点,若是以为斜边的等腰直角三角形, 求直线的方程.【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)将点坐标代入椭圆方程,与离心率联立方程组解得a,b,(2)将等腰三角形转化为的中垂线方程过点,且点到直线距离等于AB一半,先设直线方程,与椭圆方程联立,根据韦达定理以及弦长公式可得AB长以及AB中点,根据点斜式求的中垂线方程,求与x轴
13、交点得Q点坐标,根据点到直线距离公式列方程解得直线斜率,即得直线方程.试题解析:(1)由,设椭圆方程为则,椭圆方程为 (2)设的中点坐标,则由得 由得, 的中垂线方程为,所以点到直线的距离为,所以,解得 直线的方程为22. 已知各项非负的数列满足:,.(1)求证:;(2)记,求证:.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】试题分析:(1)由条件可解得,所以利用二次函数性质,最后利用数学归纳法形式进行证明,(2)根据条件得,根据裂项相消法化简不等式左边得,再构造等比数列:,即得,代入即证得不等式.试题解析:(1)法一:用数学归纳法证明 当时,结论成立假设时结论成立,则当时,综上法二: 同号,又,所以 又,所以(2)所以所以 当为奇数时, 要证只需,即 此结论显然成立,所以当为偶数时,结论显然成立,所以成立点睛:(1)分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式,关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.