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1、浙江省诸暨市2018届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以，选A.2. 已知复数满足 (为虚数单位），则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以 ，选B.3. 若满足约束条件，则的最大值等于（ ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4【答案】B【解析】作可行域，则直线过点(2,0)时取最大值6，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目
2、标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】或异面；位置关系不定；位置关系不定；所以选C.5. 等比数列中，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】 或，得不到 因此“”是“”的充分不必要条件，选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，
3、则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件6. 如图，已知点是抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切，且与轴的两个交点的横坐标之积为5，则此圆的半径为（ ）A. B. 5 C. D. 4【答案】D【解析】由抛物线定义得与轴的两个交点必有一个为焦点（1，0），所以另一个交点为（5，0）. 因此选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的
4、关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到7. 已知都是定义在上的函数，且为奇函数，图象关于直线对称，则下列四个命题中错误的是（ ）A. 为偶函数 B. 为奇函数C. 函数图象关于直线对称 D. 为偶函数【答案】B【解析】因为，所以为偶函数；因为，所以函数图象关于直线对称；因为，所以为偶函数；因为不一定与相等，所以不一定为奇函数，选B.8. 已知双曲线的标准方程，为其左右焦点，若是双曲线右支上的一点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，所以 因此 选A. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确
5、立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9. 已知的导函数，若满足，且，则的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以舍去B;因为导数为 ， ，舍A;因为导数为 ， ，满足题意;因为导数为 ， ，舍D;综上选C.10. 已知，满足，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积（ ）A. 9 B. C. 18 D. 【答案】D【解析】设 则所以 ，所以 从而的面积 ，选D. 点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决
6、某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.二、填空题（多空题每小题6分，单空题每小题4分，满,36分，将答案填在答题纸上）11. 等差数列的前项和为，若，则公差_；通项公式_【答案】 (1). 1 (2). 【解析】因为，所以 12. 某几何体的三视图如图所示（单位：)，则该几何体最长的一条棱的长度
7、是_；体积为_.【答案】 (1). (2). . . . . . . .13. 如图是函数的部分图象，已知函数图象经过点两点，则_；_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】由题意得 因为 因为，所以 .14. 已知，则_；则_【答案】 (1). 1 (2). 60【解析】令 得：1=因为 ，所以 点睛：赋值法研究二项式的系数和问题15. 编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为_【答案】【解析】编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个不同的盒子中，每个盒子放一
8、个球，共有 种基本事件，其中有两个球的编号与盒子的编号相同基本事件有（1，2，4，3），（1，4，3，2），（1，3，2，4），（4，2，3，1），（3，2，1，4），（2，1，3，4），共6种其中有四个球的编号与盒子的编号相同基本事件有（4，3，2，1）因此至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且
9、元素数目较多的题目.16. 已知都是正数，且，则的最小值等于_【答案】【解析】因为，所以 因此 当且仅当时取等号，因此的最小值等于点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17. 已知，若对于任意的恒成立，则_【答案】【解析】 对于任意的恒成立，所以 即为所以， 因此 此时 .点睛：两边夹也是求解或求证不等式相关问题的一个重要方法，通过对范围的不断缩小，直至达成目标，是极限思想的一种体现.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.
10、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. 中，内角的对边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）4【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，根据诱导公式化简可得即得角；（2）先根据余弦定理得，再利用基本不等式得的最大值.试题解析：（1）由正弦定理得，化简得：（2）由余弦定理得(等号当且仅当时成立）的最大值为4. 19. 如图，空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，,.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得，再根据线面垂直判定定理得结论，（2）先根据条
11、件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面法向量，利用向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.试题解析：（1）证明：等腰梯形中，故在中，所以平面（2）作于，以为轴建立如图的空间直角坐标系，则求得平面的法向量为又，所以即与平面所成角的正弦值等于20. 已知函数的图象在处的切线方程是.（1）求的值；（2）求证函数有唯一的极值点，且.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得解得，再根据切点在曲线上也在切线上求b，（2）先求导数，再研究导函数单调性，根据零点存在定理确定函数有唯一的极值点，再根据零点条件代入，化简为一个对勾函数，根据函数
12、性质求最小值，即证不等式.试题解析：（1），由得切线方程为，所以（2）令则所以当时，单调递减，且此时，在内无零点.又当时，单调递增，又所以有唯一解，有唯一极值点 由，又，21. 已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，是轴上的点，若是以为斜边的等腰直角三角形， 求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，与离心率联立方程组解得a,b，（2）将等腰三角形转化为的中垂线方程过点，且点到直线距离等于AB一半，先设直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理以及弦长公式可得AB长以及AB中点，根据点斜式求的中垂线方程，求与x轴
13、交点得Q点坐标，根据点到直线距离公式列方程解得直线斜率，即得直线方程.试题解析：（1）由，设椭圆方程为则，椭圆方程为 （2）设的中点坐标，则由得 由得， 的中垂线方程为，所以点到直线的距离为，所以，解得 直线的方程为22. 已知各项非负的数列满足：，.（1）求证：；（2）记，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由条件可解得，所以利用二次函数性质，最后利用数学归纳法形式进行证明，（2）根据条件得，根据裂项相消法化简不等式左边得，再构造等比数列：，即得，代入即证得不等式.试题解析：（1）法一：用数学归纳法证明 当时，结论成立假设时结论成立，则当时，综上法二： 同号，又，所以 又，所以（2）所以所以 当为奇数时， 要证只需，即 此结论显然成立，所以当为偶数时，结论显然成立，所以成立点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.
