数学期望及其应用

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1、本科毕业论文 本科生毕业论文题 目: 数学期望的计算方法与实际应用 专业代码: 070101 原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指 导 教 师 签 名: 日期 目 录1.引 言12. 数学期望的定义及其性质22.1 数学期望的定义22.2 数学期望的基本性质22.3 数学期望的计算

2、方法33 数学期望在实际生活中的应用73.1 在医学疾病普查中的应用73.2 数学期望在体育比赛中应用83.3 数学期望在经济问题中的应用103.3.1 免费抽奖问题103.3.2 保险公司获利问题113.3.3 决定生产批量问题113.3.4 机器故障问题123.3.5 最佳进货量问题133.3.6 求职决策问题144 结论15参考文献16致谢17摘 要 数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。其意义是运用对实践中抽象出

3、来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。本文从数学期望的内涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。关键词：概率论与数理统计；数学期望；性质；计算方法；应

4、用AbstractMathematical expectation or expectations, also known as average, is very important digital features in the theory of probability, and it represents the overall average value random variables. Mathematical expectation is very big, widely applied in all fields in actual life. In real life, th

5、ere are a lot of problems can be directly or indirectly solved by using the mathematical expectation. Its meaning is to use mathematical model to carry on the analysis of practice of abstracting method, so as to achieve the purpose of understanding the objective world rule, in order to provide accur

6、ate theoretical basis such as decision analysis.Based on the connotation of mathematical expectation, this paper introduces the definition and properties of mathematical expectation,and introduces several calculation methods of mathematical expectation and with examples, through the mathematical exp

7、ectation in the medical disease census, sports, and discussed the application of economic problems. Especially in terms of economy, this paper is divided into free sweepstakes problem, insurance company profits, decided to production batch problems, machine failure problem, best carried out and cove

8、r decision problem, and attempts to preliminarily illustrate the important role of mathematical expectation in the actual life,and a few examples combine mathematical expectation and actual problem, with specific example is given to illustrate the feasibility of solving practical problems with mathe

9、matical expectation method,and embodies the application of mathematical expectation in life.Keywords：Probability and mathematical statistics; Mathematical expectation; Properties; Calculation method; application数学期望的计算方法与实际应用 1.引 言 知识来源于人类的实践活动，又反过来运用到改造世界的实践活动中去，其价值也就在于此.面对当今信息时代的要求，我们应当思维活跃，富于创新，既

10、要学习数学知识，更应该重视对所学知识的应用.在现实生活中，我们常常需要研究各种各样的随机变量.对于一个随机变量，如果掌握了它的概率分布，当然就可以对它进行全面的分析，但是在实际问题中要求出一个随机变量的概率分布往往不是一件容易事.有时甚至是不可能，而有些实际问题我们也不一定非要掌握一个随机变量的概率分布，而只要知道它的某些数字特征就够了，因此并不需要求出它的分布函数.这些特征就是随机变量的数字特征，是随机变量的分布所决定的常数，刻画了随机变量某一方面的性质。例如比较不同班级的某次统考的成绩，通常就是比较各班的平均分；考察某种大批量生产的元件的寿命往往只需知道元件的平均寿命；评定某地区粮食产量的

11、水平时，经常考虑平均亩产量；对一射手进行技术评定时，经常考察射击命中环数的平均值；检查一批棉花的质量时，关心的是棉花纤维的平均长度等.这个重要的数字特征就是数学期望，它是现实生活中“平均值”概念的推广，在现实生活中有重要的作用.盛骤等人在文献1中给我们系统地介绍了数学期望的定义、基本性质等，文献25中介绍了用特征函数、逐项微分、特殊积分等求解数学期望的方法，解法各具特色，张艳娥等在文献6中讨论了数学期望理论在疾病普查中的应用，杨先伟在文献7中对数学期望在体育比赛中的应用作了研究，文献812通过几个例子研究了数学期望在某些经济问题中的应用，内容包括免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题

12、、机器故障问题等.本文介绍了数学期望的定义、性质及其计算方法与技巧，并从数学期望的内涵出发，通过几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的广泛应用.2. 数学期望的定义及其性质2.1 数学期望的定义掷一枚质地均匀的骰子次，观察每次出现点数.它是一个随机变量，如果用、表示出现1、2、3、4、5、6点的次数，那么每次投掷骰子出现点数的平均值为表示事件投掷骰子出现点的频率，由于频率具有波动性，因此该平均值也具有波动性，并不能代表每次投掷骰子出现点数的平均值，当很大时，应稳定于，故该平均值也应该稳定于那么，这使得平均值是真正的每次投掷

13、骰子出现点数的平均值，他是随机变量的可能取值与所对应的概率乘积的总和，这是一个常数，可以用来描述随机变量的数学特征，称之为的数学期望，记作.定义1 若离散型随机变量可能取值为，其分布列为，则当时，则称存在数学期望，并且数学期望为，如果，则数学期望不存在.定义2 设连续型随机变量的概率密度函数为, 若积分是一个有限值，则称积分为的数学期望，记作，即.2.2 数学期望的基本性质设C、a、b为常数，为随机变量，则有如下性质：性质1 常数的数学期望等于本身：.证明：以离散随机变量为例来证明，对于连续随机变量可类似地证明.下同，把常数视为概率1取本身值的离散随机变量，即得 .性质2 证明：设随机变量的概

14、率分布为=,（=1,2,）则.性质3 .证明：.性质4 .证明：利用前三个性质得.2.3 数学期望的计算方法方法一：利用数学期望的定义，即定义法此法是计算数学期望最常用的一种方法.它是先通过数学手段将转化成组合数公式、二项式定理或特殊级数的形式，然后求和获解.该方法思路明确，但有时计算比较麻烦.例1 设X U ( a, b) , 求E ( X).解 X的概率分布为X的数学期望为方法二： 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望.（1） 二点分布：，则（2） 二项分布

15、：，则（3） 几何分布：,则有（4） 泊松分布：，有（5） 超几何分布：,有方法三： 性质法当一个随机变量的分布较为复杂时，若直接求它的数学期望会很困难，我们可以通过将它转化成比较常见的简单的随机变量之和来解决 主要是利用数学期望的性质来使问题简单化例2 将n 个球随机地放入M 个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X 的期望解 记，i=1,2,3，M,则。，所以因而 所以方法四： 利用逐项微分法这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质两边关于参数进行求导，从而解出数学期望.例3 设随机变量X服从几何分布，求.解 两边对p求导数得