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1、6-1-9.鸡兔同笼问题（二）教学目标1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象知识精讲一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有个头；从下面数，有只脚求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独
2、脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多因此，脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）显然，鸡的只数就是（只）了 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：数=（每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-
3、每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法例题精讲两个量的“鸡兔同笼”问题变例【例 1】 某次数学竞赛，共有道题，每道题做对得分，没做或做错都要扣分，小聪得了分，他做对了多少道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 做错 (道)，因此，做对的 (道)【答案】道【巩固】 数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天
4、在这次数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得100分，实际上只得了60分，比假设少了40分，做错一题要少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道【答案】道【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛，共道试题.做对一题得分，没有做一题或做错一题都要倒扣分.刘钢得了分，问他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题假设刘钢道题全对，可得分（分），但他实际上只得分，少了（分）
5、，因此他没做或做错了一些题由于做对一道题得分，没做或做错一道题倒扣分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少（分）分中含有多少个，就是刘钢没做或做错多少道题所以，刘钢没做或做错题为（道），做对题为（道）【答案】道【巩固】 某次数学竞赛，试题共有道，每做对一题得分，每做错一题倒扣分。小红最终得分，做对的题比做错的题多_道。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第8题，假设思想方法【解析】 ，做错道题，做对道题，对的比错的多道。【答案】多道【巩固】 次数学竞赛有道试题，若小宇得70分，根据图5中两人的对话可知小宇答对_题。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题
6、型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第12题【解析】 设答对了道题，那么，所以，也就是小宇答对了8道题。【答案】题【巩固】 一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。小华答了18道题，得92分，小华在此次比赛中答错了_ 道题。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第12题【解析】 假设他全答对了，应该的188=144分，实际上少了144-92=52分，每答错一道题少8+5=13分，答错了5213=4道题。【答案】题【例 2】 某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：工作一天可得报酬48元，休息一天则要从所得报酬中扣掉12元。该工人合同到期
7、后并没有拿到报酬，则他最多工作了_天。【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第5题【解析】 方法一：假设他没有休息他会得（元），休息一天会少（元），所以他休息了（天），他工作了天方法二：工作一天休息4天刚好抵消，那么最后没拿到钱，他只工作了30(4+1)=6天。【答案】天【例 3】 春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_道题.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】假设思想方法【解析】 三人共得(分)，比满
8、分(分)少(分)因此三个人共做错：(道)题，共答对了(道)题【答案】【例 4】 张明、李华两人进行射击比赛，规定每射中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各射了10发，共得208分，其中张明比李华多64分，则张明射中_发。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 张明得分（20864）2136分，根据鸡兔同笼，张明脱靶（2010136）（2012）2，射中8发。【答案】发【巩固】 小明和小刚进行数学解题能力对抗赛，两人商定，对一题得20分，不答或答错一题扣12分。两人各解答了10道题，一共得208分，又知道小明比小刚多得64分。那么小刚做对了 道题
9、。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初试，10题【解析】 小刚得了（分）,如果小刚道题都做对了，应得分，实际得分，所以错了（道），做对了（道）。【答案】道【巩固】 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 法一：如果小明第一次测验24题全对，得(分).那么第二次只做对(题)得分是(分).两次
10、相差(分).比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得(分)，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加分.两者两差数就可减少(分).(题).因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对(题).第一次得分.第二次得分.法二：答对30题，也就是两次共答错(题).第一次答错一题，要从满分中扣去(分)，第二次答错一题，要从满分中扣去(分).答错题互换一下，两次得分要相差 (分).如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了.因此，第二
11、次答错题数是(题).第一次答错(题).第一次得分(分).第二次得分 (分).【答案】第一次得分分.第二次得分分.【例 5】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 每个三口之家可以少花（元），每个二口之家可以少花（元），如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花（元）
12、，所以这8个家庭中有（个）家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有（人）【答案】人【例 6】 一张数学试卷，只有道选择题做对一题得分，做错一题倒扣分；如不做，不得分也不扣分若小明得了分，那么他做对 题，做错 题，没做 题 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】假设思想方法，祖冲之杯【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索 小明得了分，而且只有做对了题目才能得分，所以可以知道小明至少做对道题目，否则一定低于(分)； 再假设他做对题，发现即使另外四题都错，小明仍然有(分)，超过了分，所以小明至多做对道题目； 综上，可以断定小明做对了道题 至此本题转化为简单鸡兔
13、同笼问题 假设剩下题全部没做，那么小明应得(分) 但是只得了分，说明又倒扣了分，说明错了道题，道题没做 所以小明做对了道题，做错了道题，没做道题【答案】对了道题，做错了道题，没做道题【例 7】 一批钢材，用小卡车装载要辆，用大卡车装载只要辆已知每辆大卡车比每辆小卡车多装吨，那么这批钢材有多少吨？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨利用假设法，假设只用辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装吨，所以要剩下 (吨)根据条件，要装完这吨钢材还需要(辆)小卡车这样每辆小卡车能装(吨)由
14、此可求出这批钢材有吨【答案】吨【例 8】 下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！” 售货员：“同学，你好想买点什么？”小波：“我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本”售货员：“好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请拿好再见”根据这段对话，则钢笔每支是 元，笔记本每本是 元【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第14题【解析】 一共花了元。如果是买本笔记本可以少花元，即元。所以每本笔记本元，每支钢笔元【答案】元【例 9】 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多. (680-840)(8+4)=30(张), 这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有 40+30=70(张). 解二:譬如,假设有20张4分,根据条件8分比4分多40张,那么应有60张8分.以分作为计算单位,此时邮票总值是 42
