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1、基于线性模型的二维直角坐标变换【摘要】二维直角坐标变换模型在工程领域中应用超级普遍，该模型是一个非线性模型，关于多公共点的二维直角坐标变换需要进行模型的线性化，计算待求参数的近似值，再利用间接平差原理计算各待求参数最或然值。本文在非线性模型基础上推导出一个线性模型，利用该模型进行二维直角坐标变换，无需计算待求参数近似值，关于涉及到二维直角坐标变换的问题，能够简化其解算进程。【关键词】二维直角坐标变换；线性模型；测量平差1引言坐标是表示点位置的量，在测绘领域，许多测量功效以坐标形式来表示，而进行坐标系的变换更是习以为常的事。传统的二维直角坐标变换模型是一个非线性模型，关于多公共点的二维直角坐标变
2、换，需要进行模型的线性化，计算待求参数的近似值，因此比较繁琐。本文在非线性模型的基础上推导出一个线性模型，该模型可使涉及二维直角坐标变换的问题简单化。2二维直角坐标变换的非线性模型坐标旋转示意图设有如下2个问题：问题1：如图la所示，i点坐标为现将i点绕坐标原点旋转。角度，得j点，求j点坐标。问题2：如图1b所示，在XOY坐标V系中i点坐标为i,现将坐标轴逆时针旋转角度0,得新坐标系UCV,求LxV.在新坐标系中i点坐标.问题1中j点坐标和问题2中i点在UCV坐标系L%中坐标是一致的，因此关于坐标轴旋转的问题，能够转换为点的旋转变换。图la中，设点i相关于原点0的距离为d,方位角为，那么j点坐
3、标为：Xj=d乂cos(a+yi=dxsin(+9)(1)上式展开为.x,=d乂cos(a+9)=dxcosaxcos。-dxsinaxsin。Vj=dxsin(6Z十0)=dxcosaxsin。十clxsinaxcos。(2)即x；=dxcos(tz+。)=%,xcos一xsin。sin。v.=dxsin(a+8)=x.xsin。+%xcos/9(3)XjsinOxcosM由此可得问题2中i点在UCV坐标系中坐标% cos 9匕-sin 9sin 9 x.xcos。 匕考虑坐标轴平移和缩放，那么可的二维直角坐标变换的非线性模型。+ (*)cos。一 sin。(6)该模型的确信需要计算平移参数
4、v、缩放系数k及旋转角度o四个参数，因此至少需要两个公共点。关于多公共点的坐标变换，将转换后坐标、模型参数一路作为未知参数列误差方程进行计算。设UCV坐标系中坐标和XOY坐标系中坐标有如下转换关系口+(1+幻尸04- sin (p叫x固cos。Lvd对（7）式进行线性化得H将LH看成观测值，那么可写出误差方程为10一二端10_。-Rx%。8k迎凉J-01土匕。011P.M其中1%为观看值LF的更正数。设点总个数为n,那么可写出2n个如此的误差方程，写成矩阵形式V = BX-l(10)依间接平差原理可得X=（BTBylBrlllo验后单位权中误差为7千f为多余观测值个数。未知数向量协因数阵为“=
5、（夕8）二，那么未知数向量的协方差矩阵为知”=的。33基于线性模型的二维直角坐标变换AiB.图2基线变换示意图设在xoy坐标系中有n个待转换点4）取4点作为起点，其余各点作为终点组成n-l条基线向量。对XOY坐标系进行缩放、旋转和平移变换后，变成UCV坐标系，在该坐标系中，原待转换点别离变成用九片8”，如图2所示，设基线向量4人在变换后对应基线向量为稣耳单位基线向量在变换后对应基线向量为叫）品。由此可知及）与一4）4=44（11）BrE。-4。（）=。（）（12）又44二A4-40即JE。444B得(13)(14)(15)44=44x)uo设 DEo = RxA)Do,其中R=Axcos6 -
6、 sin。sin。 cos。则综合(12)、(13)、(15)式得(16)为耳44=4)4x及*4A=Rx44(17)u。5匕4u。匕)-A%,(18)斗i(18)式为二维直角坐标变换的线性模型，其中左侧1%-为随机量，而右边&。为非随机量(18)对应误差式方程为AX()i几-A4%由于待转换点个数为n,那么有(n-1)个误差方程，写成矩阵形式为V=BX-l设公共点个数为m,且基线起点选择一公共点，那么未知参数个数为2(n-m)+2。在观测值总数大于或等于未知参数的情形下，方程有解，即2(n-l)2(n-m)+2,得m2,即公共点个数最小为2。4模拟数据验证为验证该线性模型的可行性，在MATL
7、AB中就两种模型别离编制程序，利用模拟数据进行计算比较。通过比较程序代码字符数得，线性模型实现代码共约1867个字符，而非线性模型实现代码共约3252个字符。由此可知，线性模型更易用程序实现。模拟数据对两程序进行验证，设有10个点，其在XOY坐标系下坐标如表1所示。两坐标系公共点有4个，其在NCE坐标系下坐标如表2所示。现利用两程序计算非公共点在NCE坐标系下的坐标。程序计算比较分两个方案进行。方案一比较：公共点坐标不包括误差，两程序计算结果坐标差值为0。方案二比较：给公共点在NCE坐标系下各坐标值加一个0-lcm的随机数，再利用程序进行比较计算。两程序计算得验后单位权中误差都为0.0018,
8、坐标差最大值为0.5mm。通过以上比较可知，本文提出的二维直角坐标变换的线性模型是正确的。表1源坐标系中各点坐标点号公共点标志12340.2811913.110522343.3509910.6387T32352.6349$)03.144642355.6973900.6683-152374.1808885.802862380.2996880.8519-172383.4096878.357782386.5041875.868992389.5957873.356371()2392.6849870.9123表2公共点在目标坐标系中坐标点号无误差公共点坐标有误差公共点坐标NENE23856.037829
9、18.07103856.04732918.075913871.79632916.19273871.80492916.196663903.17042912.49323903.17902912.494093915.02952911.08873915.0322291L09035结束语本文关于传统的二维直角坐标变换模型进行了分析，在此基础上提出一个线性模型，并在MATLAB中编制程序进行了验证计算，证明了其正确性和简单性。在文献4-6中，采纳了先解算转换参数，再利用转换模型进行坐标转换，这种方式关于单纯的坐标变换是可行的，但关于将坐标变换作为模型一部份的一些问题，如CPih操纵网平差计算却无能为力。同时，将模型转换参数和待求坐标参数统一作为未知参数进行解算，能够获取目标坐标系下的点位精度。参考文献1武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础M.武汉：武汉大学出版社，2003：102-125.姚德新.土木工程测量学教程M.北京：中国铁道出版社，2003:67-68.3黄斌,测量坐标的转换问题J.北京测绘，2020,(4).4张宪柱，张书毕，姜波，孙庆华.两种平面坐标系换算的改良方式J.测绘工程，2020.5李娜，余学祥，高桂棠，杜贻晶.GPS网平面坐标系统转换及精度分析J.测绘信息与工程,2020,(1).6杨本廷.数字地形图坐标变换的探讨J,城市勘测，2020,(1).
