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1、 “正弦定理”教学设计 顺昌一中 张晨曦一、教学内容解析正弦定理是高中课程数学(必修5)第一章第一节内容，教学安排二个课时，本节为第一课时内容。学生在初中已经学习了直角三角形的边角关系。教师带领学生从已有知识出发，通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用观察-猜想-验证-发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。课本按照从简原则和最近发展区原则，采用“作高法”证明了正弦定理。教学过程中，为了发展学生思维，再引导学生从向量，作外接圆，三角形面积计算等角度找到证明的途径，让学生感受数学知识相互紧密联系的特点。正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用正弦定理解三角形，是典型的用
2、代数的方法来解决的几何问题的类型；正弦定理作为三角形中的一个定理，在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛。因此，正弦定理的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。二、学生学情分析正弦定理是学生在已经系统学习了平面几何，解直角三角形，三角函数，平面向量等知识基础上进行的。虽然对于学生来说，有一定观察、分析、解决问题的能力，但正弦定理的发现，探索、证明还是有一定的难度，教师恰当引导调动学生学习主动性，注重前后知识间的联系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，发现并探索正弦定理。三、教学目标定位1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；2、让学生从已有的几何知识出发,
3、探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、推导，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。教学重点：正弦定理的探索与发现。教学难点：正弦定理证明及简单应用。四、教学策略“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，结合现代多媒体教学手段
4、，通过观猜想验证-发现-证明-应用等环节逐步得到深化，体验数学知识的内在联系，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，逐步培养学生探索精神和创新意识。五、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图开场白（问题提出）初中时同学们学习了任意三角形中有大边对大角，小边对小角的关系，这是对三角形边角关系一个定性的描述。我们能够进一步得到任意三角形中边和角的准确的量化的关系呢？回顾已有知识的内容，明确本节课研究的问题实质，为下面学习做好心理准备。“开场白”可以帮助学生理清知识体系，做好学习新知识的心理准备。创设情境引入课题1、创设情境 提出问题：如何测定河岸A点到对岸B点的距离在岸边选定基线AC，并测得AC的
5、长及ACB、BAC的度数，由此求出A、B两点的距离.引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法。由实际问题引入，体现数学来源于生活激发学生兴趣2、将实际问题，转化为数学问题。引导学生建立三角形模型，将实际问题转化为数学问题。培养学生分析问题能力、体会建模、转化思想。3、数学问题实质是什么？已知三角形中两角及其夹边，求其它边探寻特例提出猜想1、回顾直角三角形中边角关系. 引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解.利用c边相同，寻求形式的和谐统一发现在直角三角形中根据学生认知规律，由特殊三角形入手，让学生经历由特殊到一般的发现过程，从而体验数学的探索过程，激
6、发了学生探究欲，突显了学生的主体地位。2、问题1、发现对于锐角、钝角三角形成立吗？学生思考交流。3、个例验证发现1.等边三角形2.将两个全等的30、60的直角三角形，拼在一起验证.60304、提出猜想：学生大胆猜想：对于直角、锐角、钝角三角形发现均成立。逻辑推理证明猜想1、多媒体课件验证猜想。（任意改变三角形形状，由计算机算出各边与对角正弦值的比，观察是否相等）教师演示，学生观察。通过多媒体验证，学生从感性认识猜想的正确性。2、问题2：你能通过严格的推理证明猜想吗？学生合作交流，探索证明方法。学生分组讨论自主探究，教师巡视指导。引导学生通过自主探究、合作交流寻求证明方法，培养学生发散思维，体会
7、分类讨论思想，化归思想；注重前后知识间的联系，用向量法证明，体验向量的工具性，数形结合的数学思想方法。3根据各组探究情况，展示多种证明方法。（作高法、等面积法、外接圆法、向量法）通过交流探究，教师展示多种证明方法，1、对于课本给出的作高法，让学生讲解，考察学生自学能力。2、等面积法有学生独立自主解决，并让学生讲解。得到斜三角的面积公式3、外接圆法，利用多媒体探究。4、向量法师生共同探究，主要是利用微课进行讲解定理形成概念深化1、综上得：正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即（）正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美；（）解三角形：一般地，我们把三角形的三个角和它的
8、对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.理解正弦定理的文字语言、符号语言及解三角形的概念。欣赏表达式的和谐美和对称美，及正弦定理所体现的美学价值。 2、问题3：利用正弦定理解三角形，至少已知几个元素？三个元素即四种类型三边（余弦定理，后期学习）三角（无法解三角形）两角一边（即三角一边，可用正弦定理求解）两边一角（若对角正弦定理第二课时学习；若夹角余弦定理，后期学习）通过问题让学生进一步认识和理解正弦定理的结构特征。数学文化渗透关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法（Abul-Wefa，940998）提出并证明了球面三角形的正弦
9、定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西（Nasiral-Dinal-Tusi,12011274）给出的我国清代数学家梅文鼎（16331721）在他的著作平三角举要中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式 通过渗透数学史的内容，让学生得到数学美的熏陶，激发学生学习科学文化知识的热情，体会到数学的发展历程中，所有的数学人，不分国界，不分时代，共同推动着数学不断向前定理形成概念深化3、问题4：正弦定理可以解决那类解三角问题？1、正弦定理可以用于解决已知两角和任意一边求另两边和一角的问题2、正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题.挖掘正弦定理的应用的条件。范
10、例教学举一反三例1、已知中，a=20,A=30，C=45解三角形。变式1：（2015年福建高考）若中，AC=,A=45，C=75，则BC= 例1直接用正弦定理求解，教师展示规范解题过程。变式1学生独立完成。进一步深化对正弦定理的认识和理解，掌握正弦定理在解三角形问题中的应用某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，如图所示，其中一角已破损现测得如下数据：为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.01cm师生共同分析，建模，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理求解。能用正弦定理解决一些实际生活中简单的三角度量问题，体验数学来源于生活，又服务于生活。归纳小结问题4：本节课你学到了哪些知识？有什么收获？师生共同总结本节课收获.1、找到了解决任意三角形边角关系的重要工具-正弦定理。2、正弦定理的证明方法。3、了解了实际生活中简单的三角度量方法。引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.课后作业1、至少三种方法证明定理。2、课本P4，第1题，P10，第1题。学生课后完成.进一步对所学知识巩固深化。
