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1、2020年暑假数学课外辅导（必修1）第二章 基本初等函数（）一、基本内容串讲本章主干知识：指数的概念与运算，指数函数、图象及其性质，对数的概念与运算，对数函数、图象及其性质，幂函数的概念1指数函数：（1）有理指数幂的含义及其运算性质：；。（2）函数叫做指数函数。指数函数的图象和性质 0 a 1图 象性质定义域R值域(0 , +)定点过定点（0，1），即x = 0时，y = 1（1）a 1，当x 0时，y 1；当x 0时，0 y 1。（2）0 a 0时，0 y 1；当x 1。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性和关于y轴对称2对数函数（1）对数的运算性质：如果a 0 , a 1 , M 0
2、, N 0，那么：； ；。（2）换底公式：(3)对数函数的图象和性质0 a 1图象定义域(0 , +)值域R性质（1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数（3）同正异负，即0 a 1 , 0 x 1 , x 1时，log a x 0；0 a 1或a 1 , 0 x 1时，log a x 0。3幂函数函数叫做幂函数（只考虑的图象）。二、考点阐述考点1有理指数幂的含义( B )1、化简的结果是（ B ）. A. B. C. 3 D.5考点2幂的运算( B )2、（1）计算：；（2）化简：。解析：（1）原式=；（2）原式=3、已知，求的值。解析：，又，
3、。考点3指数函数的概念及其意义；指数函数的单调性与特殊点( C )4、已知. （1）讨论的奇偶性； （2）讨论的单调性.解析：（1）的定义域为R. . 为奇函数.（2）设任意，且，则.由于，从而，即. ，即. 为增函数.5、已知函数.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.解析：（1）当，即时，. 所以，该函数的图象恒过定点.（2） 是减函数， 当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数.考点4指数函数模型的应用( B关注实践应用) 6、光线通过一块玻璃,其强度要损失,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为,通过块玻璃后强度为.（1）写出关于的函数关系式；（2）通过
4、多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下? ( 解析：（1） （2） .考点5对数的概念及其运算性质( B )7、已知 （ ） （A） （B） （C） （D） 解析：，答案选D8、计算（1） 。解析：。（2） 。解析：原式 ；考点6换底公式的应用( C )9、计算；解析：原式 ；考点7对数函数的概念及其意义；对数函数的单调性与特殊点( C )10、已知f(x)=(a21)x在区间(,+)内是减函数,则实数a的取值范围是 (A)|a|1 (B)|a|1 (C)|a| (D)1|a|解析： 由条件可得0a211,可得答案为D11、若在上是减函数,则的取值范围是( C ) A. B. C. D.考点8
5、指数函数与对数函数互为反函数( A )12、函数的反函数的图象是 （ A ） （A） （B） （C） （D）13、函数的反函数的定义域为( D )（A） （B） （C） （D）考点9幂函数的概念( A )14、幂函数的图象过点，则的解析式是_。解析： ，；15、若，上述函数是幂函数的个数是（ ）A0个 B1个 C2个 D3个解析：C 是幂函数考点10函数的零点与方程根的联系(A )16、已知唯一的零点在区间、内，那么下面命题错误的（ ）A函数在或内有零点 B函数在内无零点C函数在内有零点 D函数在内不一定有零点解析：C 唯一的零点必须在区间，而不在17、如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范
6、围是（ ）A B C D解析：D 或18、 求零点的个数为 （ ）A B C D解析：C ，显然有两个实数根，共三个；19、函数的零点个数为 。解析： 分别作出的图象；考点11用二分法求方程的近似解( C关注探究过程)20用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。解析： 令 21设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）A B C D不能确定解析：B 。考点12函数的模型及其应用( D关注实践应用)22、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的
7、信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2020年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20000.40000.60010.79991.0001解析：（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象。将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（xN）。因为原有
8、沙漠面积为95万公顷，则到2020年底沙漠面积大约为95+0.515=98（万公顷）。（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x0.6(x5)=90，解得x=20（年）。故到2020年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。三、解题方法分析1弄清根式和分数指数幂的意义，掌握从指数转化上处理指数问题【方法点拨】类比整数指数幂的运算性质理解分数指数幂的运算，根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算；例1化简下列各式（） 【解析】 【点评】：（1）本题属于“了解”层次，主要考查考生对有理指数幂的含义、幂的运算的识记了解情况；（
9、2）解答这类问题的关键是先把根式转化成分数指数幂的最简形式，然后做幂的运算。2理解对数的概念及其运算性质，会利用对数运算性质化简、计算及求值【方法点拨】一方面，要理解对数的概念和运算性质，理解对数式和指数式的互化，另一方面，计算、化简及求值首先寻找同底转化，当不同底时，要灵活运用换底公式处理。例2计算：(1) lg142lg+lg7lg18 2564 （3），【解析】：（1）lg14-2lg+lg7-lg18=lg(27)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(2)=lg2+lg72lg7+2lg3+lg72lg3lg2=0（2）256422（3）=【点评】：（1）本题属于“理解”层次，要理解对
10、数运算的基本公式，熟练掌握化简求值的常见技能；（2) 注意式与式之间的联系，对数式要化到最简形式.3理解指（对）数函数的概念与性质，从函数表达式的特征上寻找解题途径。【方法点拨】能根据指（对）数函数表达式有意义和单调性求定义域和值域。解题时特别注意对数的真数大于零。例3求下列函数的定义域、值域：（1） （2） （3）【解析】：（1） ， ， 原函数的定义域是，令， 则， 得，所以，原函数的值域是：（2） 原函数的定义域是， 令 则， 在是增函数 ， 所以，原函数的值域是（3）由于函数定义域是R ，故函数的值域是【点评】：（1）本题属于“了解”层次，主要考查考生对函数定义域和值域掌握情况；（2）
11、求函数的定义域的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于1。求函数的值域的常用方法有：配方法、换元法、均值不等式法及单调性法等.4掌握指（对）数函数单调性的应用【方法点拨】利用指（对）数函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，求某些函数的值或最值，解不等式。有些含字母参数的问题，要对参数范围进行讨论。例4已知f（x）=loga（aax）（1）当0a 1时，求f（x）的定义域；（2）判断f（2）是否大于零，并说明理由。【解析】： （1）为使函数有意义，需满足aax0，即axa，0a 1，x1，故定义域为（1，+）。
12、（2）f（2）=loga（aa2），loga1=0， 又1-（aa2）= a2- a+1=（， （aa2）1，当0a 1时，f（2）0当a0 时，f（2）0。【点评】：本题主要考查对数函数的单调性，解题时，指（对）数函数的底数对单调性的影响要了解透彻。5掌握有关指（对）数函数奇偶性的判定【方法点拨】对于和指（对）数函数有关的函数的奇偶性的判定，首先看函数定义域是否关于原点对称,然后寻找与的关系,并由此判断函数的奇偶性.例5判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)= （a0且a1） （2）f(x)= lg（1）【解析】：（1）f(x)定义域为：，f(-x)= = f(x)， 故f(x)为偶函数。（2）f（x）= f（x）是奇函数，【点评】：判定和指（对）数函数有关的函数的奇偶性，关键是由的解析式向目标的解析式转化，解题要明确目标和方向。四、课堂练习1指数函数y=ax的图像经过点（2，16）则a的值是 （ ）A B C2 D42下列函数是幂函数的是（ ） 、 B、
