结构力学实用教程

《结构力学实用教程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《结构力学实用教程（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、2.1几何可变系统和几何不变系统工程结构是用来承受和传递外载荷的系统。一个工程结构通常是由若干个构件用某种方法联 结而成的。它在承受载荷作用时，各构件只允许发生材料的弹性变形，而不应发生构件间相 对的机械运动。如图2.1（a）所示的系统，如果不考虑弹性变形，系统也未发生破坏，则其几 何形状与位置均保持不变，这样的系统，我们称之为几何不变系统。但是，对如图2.1（b） 所示的系统，在载荷作用下，即使不考虑弹性变形，它的形状和位置也将改变，这样的系统， 我们称之为几何可变系统，它是不能用来承受和传递外载荷的。所以，凡是工程结构必须是p_-A ?7?P-p,z9- ?几何不变系统。(a)(b)图 2

2、.1对系统进行几何组成分析的目的在于：判断该系统是否为几何不变系统，以决定其能否作为 工程结构使用；研究并掌握几何不变系统的组成规则，以便合理安排构件，设计出合理的结 构；根据系统的组成规则，确定结构的性质（静定系统还是静不定系统），以便选用相应的 计算方法。3.2静定桁架的内力桁架是由某些杆系结构经过简化而得到的计算模型，其特点是：（1）各元件均为直杆；（2）各杆两端均用没有摩擦的理想铰链相连接；（3）杆的轴线通过铰心，称铰心为桁架的结点；（4）载荷和支座反力仅作用在各结点上。由于理想铰链没有摩擦力，故不能传递力矩。显然，在载荷仅作用在结点上时，若不计杆的 自重，各杆都只受到两端结点的作用力

3、，且在此二力作用下处于平衡。因此，桁架的杆件均 为“二力杆”，即杆两端受到大小相等、方向相反、沿着杆轴线的两个力作用。杆子横截面 上只有轴力，这些轴力就是所要计算的桁架内力。静定桁架是一种没有多余约束的结构，它的内力计算原则上，只要把桁架分解为若干自由体 （结点）和约束（杆），用未知力代替约束的作用，对所有的自由体列出全部静力平衡方程 式，所得方程式数与包含的未知力数相等。由于结构是几何不变的，方程组有唯一解。解这 联立方程组就可得到静定桁架的内力。但在工程实际中，往往可以运用下述两种方法：结点 法和截面法。一、结点法结点法是取单个结点作为自由体，用未知力代替与结点相连的杆的约束。这样，结点就

4、在作 用于其上的外力和未知力共同作用下处于平衡。由于这些力交于结点，是共点力系，运用共 点力系的平衡条件，就可求出结点上的未知力。为了便于计算，应该按一定的顺序来分离结点。对于平面桁架，一个结点可列出两个平衡方 程。应该先从只有两个未知力的结点开始，然后逐次转到剩下两个未知的结点上去。对于空 间桁架，一个结点可列出三个平衡方程。则应该先从只有三个未知力的结点开始，然后再逐 次转到只剩下三个未知力的结点上去。为了防止在列平衡方程时内力发生正、负号错误，通常假设杆中的未知内力都是拉力，即内 力箭头背离结点。用/.表示，i表示力的作用点，J表示力作用线方向。如果求出的未知力 是正号，表示未知力的方向

5、与假设方向相同，未知力是拉力。如为负值，则表示其方向与假 设方向相反，是压力。在用结点法解桁架时，可利用按结点平衡条件得到的零力杆的结果，先判断零力杆，以减少计算量。零力杆的判断：（1）一个平面结点只与两杆相连，若没有载荷作用，且两杆不 共线，则该两杆此端的杆力必为零。如图3.1中的结点4， N4-3=N4-5=0。（2）一个平面结点与三根杆相连，且其中两杆共线，当结点没 有外力作用时，则不共线的第三杆此端的轴力必为零。如图3.1 中的结点6，N61=0。图3.1（3）一个空间结点只与不共面的三根杆相连，当结点无外力作用时，则此三杆在该端的轴 力必为零。（4）一个空间结点与n根杆相连，其中有n

6、-1根杆在一平面内，当结点无外力作用时，则 不共面的“孤立杆”该端轴力必为零。例3.1求图3.2所示桁架的内力。解（1）判断结构的静定性。用逐次连接结点的方法， 每增加一个结点，用两根不共线的杆相连接，可得到静 定的平面桁架。可判定该桁架是静定结构。（2）判断零力杆。利用前面的结论可知，结点9只连接 不共线的二杆，且无结点载荷，故杆7-9、杆8-9均为零 力杆。对于结点8,因为已知杆8-9内力为零，所以结点 8也相当只连接不共线的二杆的结点，且无外载荷，所以 杆7-8、杆6-8也是零力杆。而结点5,有三杆相连，杆 4-5杆5-7共线，故杆5-6为零力杆。同理杆1-4、杆4-6和杆3-6也是零力

7、杆。判断出零力杆后，计算将大为简化。（3）取结点7的平衡，可求杆轴力N7-1和N7-5。N 7 1cos45 + P = 0N75+ N 7c1o s 4 =再分别由结点5、4的平衡，得N4-2=N5-4=P二、截面法截面法就是用一适当的截面，将桁架的一部分切出作为分离体，用未知力代替所切断的杆的 约束作用。分离体在外载荷和未知力作用下处于平衡，利用平衡方程就可求出这些未知力。 对于平面问题，分离体的平衡可列出三个独立平衡方程；对于空间问题，分离体的平衡可列 出六个独立平衡方程。如果取分离体时所切断的杆子数刚好等于平衡方程数，则未知力即可 求出。例3.2求图3.3（a）所示桁架的内力。图3.3

8、解（1）判断结构的静定性。用铰接三角形组成法规则，可知该桁架为几何不变的静定桁架。（2）判断零力杆。结点7：由不共线的两杆连接，又没有结点外力，因此N7_5=N7_8=0；结点8：利用结点7的结论，可知N8 5=N8 6=0;结点5：利用结点7和结点8的结论，可知N53=N56=0。（3）利用截面I-I将桁架右边部分切出作分离体，设被切断杆的未知轴力为N42、N41和N21，如图3.3（b）所示。由分离体的平衡，得E M = 0NX 50 -1000 X 50 -1000 X100 = 014 - 2得N4 2 = 1000x 150/50 = 3000kN（拉力）E M = 0Nx 50 +

9、1000 x 50=042-1得N = -1000 x 50/50 = -1000kN2-1（压力）E F = 0Ncos45 +1000 +1000 = 0y4-1N 4 1 = -2000丐kN（压力）（4）同理，利用截面II-II将2将桁架 右边部分切出作分离体，可得杆轴力N 6-4 = 1000kN （拉力）气侦-1000互kN （压力）（5）结点3的平衡，E F广0N3 4 + N3 6 cos 45O = 0r l妤=-1000 袤 wV= 10003图3.3解（1）判断结构的静定性。用铰接三角形组成法规则，可知该桁架为几何不变的静定桁架。（2）判断零力杆。结点7：由不共线的两杆连

10、接，又没有结点外力，因此N7_5=N7_8=0；结点8：利用结点7的结论，可知N8 5=N8 6=0;结点5：利用结点7和结点8的结论，可知N53=N56=0。（3）利用截面I-I将桁架右边部分切出作分离体，设被切断杆的未知轴力为N42、N41和N21，如图3.3（b）所示。由分离体的平衡，得E M = 0NX 50 -1000 X 50 -1000 X100 = 014 - 2得N4 2 = 1000 x 150/50 = 3000kN（拉力）E M = 0Nx 50 +1000 x 50=042-1得N = -1000 x 50/50 = -1000kN2-1（压力）E F = 0Ncos

11、45 +1000 +1000 = 0y4-1N 4 1 = -2000丐kN（压力）（4）同理，利用截面II-II将2将桁架 右边部分切出作分离体，可得杆轴力N 6-4 = 1000kN （拉力）气侦-1000互kN （压力）（5）结点3的平衡，E F广0N3 4 + N3 6 cos 45O = 0r l妤= 10003=-1000 J 2 -2V73.3静定刚架的内力大一、刚架结构的组成刚架也是由杆系结构简化而得到的计算模型，各杆可以是直杆也可以是曲杆，各杆之间采用 刚性连接。所谓刚性连接是指能保证所连接的元件，在连接接头处不产生相对位移，包括线 位移和角位移。例如图3.4(a)所示刚架，

12、在载荷P作用下发生弹性变形。杆ab和杆bc 在接头b处，变形后仍然连续，且二杆之间的夹角保持不变。因此，平面内的一个刚接头相 当于三个约束，空间内的一个刚接头相当于六个约束。图3.4刚性连接与铰接不同，它不仅能传递集中力，还能传递力矩。例如图3.4(b )所示刚架，在载 荷P1和P2作用下，在ab段内的内力有轴力M剪力Q和弯矩M，在bc段内有剪力Q、弯 矩M和扭矩M。因此，刚架能承受任意形式的外载荷，且载荷可以作用在刚架的任何部位 上。如图3.5(b)所示的刚架就是一个空间刚架。刚架分为平面刚架和空间刚架。平面刚架是指所有杆件的轴线以及作用在刚架上的载荷均在 同一平面上，否则即为空间刚架， 刚

13、架的组成方法有两种。1. 逐次连接杆件法，就是将杆件用刚性接头逐次连接起 来。对于平面刚架，每增加一个杆件就增加三个自由度， 每增加一个刚接头则增加三个约束；对于空间刚架，每 增加一个杆件则增加六个自由度，而增加一个刚接头则 增加六个约束。因此，只要不形成封闭的框形结构，增 加杆件所增加的自由度数恰好与增加刚接头所增加的约 束数相等。这样所得的刚架一定是静定的，这种刚架亦 称为简单刚架。图3.5(a)所示的都是静定刚架。如果形成 了封闭的框形结构，就相当在于封闭处多用了约束，就 成了具有多余约束的静不定刚架。对于平面刚架，形成 一个封闭框形结构，相当于有三个多余约束，是一个三度静不定结构，若形

14、成两个封闭的框 形结构，就是六度静不定结构，如图3.5(b)所示。对于空间刚架，每封闭一次，就相当于有 六个多余约束，因而增加六度静不定。2. 逐次连接刚架法，将简单刚架用足够的约束(刚接或铰接)相互连接组成的结构，这种 结构称为复杂刚架。在用铰链连接刚架时，应注意避免出现几何可变或瞬变系统。在刚架相 互连接时，若用了多余约束，则将会增加刚架的静不定度数。在实际工程结构中，理想的铰接或刚接是没有的。在模型简化时，通过可把刚性较强的接头 简化为刚接，把刚性较小或比较薄弱的接头简化为铰接。二、静定刚架的内力计算刚架的每一杆件的任一横截面上，通常都同时存在几种类型的内力。对于平面刚架，杆件的 横截面

15、上一般有三个内力分量，即轴力M剪力Q和弯矩M，如图3.6(a)所示。对于空间刚架的杆件的横截面上，一般有六个内力分量，轴力M沿横截面两个主轴方向的 剪力Q1和Q2、绕横截面两个主轴的弯矩M1和M2以及绕杆轴线的扭矩Mt，如图3.6(c)所示。 刚架内力的方向对于确定的横截面只可能有两个方向，习惯上用正负号加以区域，如果规定 某一方向为正，则相反的方向就为负。轴力N以拉力为正、压力为负。剪力Q以对微段产 生的力矩顺时针方向旋转时为正、逆时针方向旋转为负。见图3.6(b)。弯矩M则不标明正负， 而把弯矩图画在杆件受压的一侧。对于空间刚架，扭矩mt按右手螺旋法则，矢量箭头向外 为正、反之为负。剪力图也不标注正负号，但需事先规定杆轴线正向和正面(截面的外法线 与杆轴正方向一致时为正面)，剪力图画在剪力所指的一侧。刚架的内力计算就是