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1、实验一 动态法测定弹性模量物理与电子信息学院 物理学专业 09物理汉班，内蒙古 呼和浩特 010022指导教师：哈斯朝鲁摘要：弹性模量包括扬氏模量（E）和切变模量（G），连同泊松比（）共称弹性系数，这三个系数相互之间的关系由关系式=2G/E1所决定。弹性模量测定方法共有三类：静态法、波传播法、动态法。本实验采用动态弯曲共振法测定弹性模量。1. 引言弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算、防热和隔热层计算、选用构件材料的主要依据。精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。弹性模量测定方法主要有三类：1) 静态法（拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样，在大形变及常温下
2、测定。该法载荷大，加载速度慢伴有弛豫过程，对脆性材料（石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；2) 波传播法（含连续波及脉冲波法）：该法所用设备虽较复杂，但在室温下很好用，由于换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；3) 动态法（又称共振法、声频法）：包括弯曲（横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属（脆性材料）以及测定温度能在-1803000左右进行而为众多国家采用。2. 正文【实验目的】1. 了解动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；2. 掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数
3、据；3. 掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；4. 了解压电体、热电偶的功能，熟悉信号源及示波器和温控器的使用；5. 培养综合使用知识和实验仪器的能力。【实验仪器】动态弹性模量测定仪、功率函数信号发生器(5位数显、频率宽5500KHz)、数显调节仪、悬挂测定支架及支撑测定支架、悬线、试样五根、激发-接收换能器、加热炉、高温悬线、声频放大器、听诊器、示波器。【实验原理】对长度直径条件的细长棒，当其作微小横振动（又称弯曲振动）时，其振动方程为： （13-1）式中为竖直方向位移，长棒的轴线方向为，为试棒的杨氏模量，为材料密度，为棒横截面，为其截面的惯性矩，。用分离变量法求解方程（13-1）的
4、解，令 （13-2）（13-2）式代入（13-1）式得，该等式两边分别是变量和的函数，只有等于一常数时才成立，设此常数为，则 （13-3） （13-4）设棒中各点均作谐振动，这两个线性常微分方程的通解为： （13-5） (13-6)式（13-2）横振动方程的通解为： (13-7)式中 （13-8）该式通称频率公式。实际棒的振动模式取决于边界条件。推论证明：该式对于任意形状截面、不同边界条件下都是成立的，故我们只要用特定的边界条件定出常数，代入特定截面的惯性矩，就可以得到具体条件下的计算公式。如将棒悬挂（或支撑）在节点（即处于共振状态时棒上位移恒等于零的位置），此时，边界条件为二端横向作用力及力
5、矩为零，即：； ；。将通解带入边界条件得到： （13-9）可用数值解法求得本征值和棒长应满足：式中的根对应于静止状态、故将第二个根作为第一个根记作，一般将对应的频率叫做基频，此时棒上波形分布如图13-1所示，而叫一次谐波。对应的波形分布如图13-2所示。由图可见，试棒作基频振动时有两个节点、其位置距端面分别为和。而对一次谐波共有三个节点、其位置距端面分别为、和。实验证明：棒上振动分布确实如此。图13-1 图13-2将第一个本征值代入频率公式（13-8），可得到自由振动时的固有频率。基频，因对圆形棒有：，整理后 (13-10)同理，对为宽度、为厚度的矩形棒有： (13-11)也能推出上述试样切变
6、模量与共振频率关系： (13-12) （13-13)式中：长度、直径、宽、厚、等几何尺寸均以米为单位，质量以千克为单位，频率以赫兹为单位，计算出弹性模量单位为。0.000（静态）4.730（基频）7.85310.99614.137已知又设 则 容许频率为 （13-14）对于基频，对各谐频棒的振动模式：将代入式（13-5），得则 （13-15）从附录（16）式可知 （13-16）代入可得4.7307.85310.99614.13717.279-0.982 5-1.000 8-0.999 96-1.000 0-0.999 9取 则给出值就可求出值，而为常数，所以值可以表示振动的横位移。对于基频0.
7、00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.02.001.070.20-0.54-1.04-1.22-1.04-0.540.201.092.00图13-2为基频的振动模式，从图上可以看出节点在距一端处。同样可以算出对的节点在处。理论推导表明，杆的横振动节点与振动级次有关，值第1、3、5数值对应于对称形振动。第2、4、6对应于反对称形振动。最低级次的对称振动波形如图13-4所示。 图4 二端自由杆基频弯曲振动波形表13-1 振动级次节点数节点位置频率比级次n基频n=1一次谐波n=2二次谐波n=3节点数节点位置20.224 0.77630.132 0.502 0.86840.094
8、 0.356 0.644 0.906频率比表中为杆的长度。当，时。修正值由表13-1可见，基频振动的理论节点位置为0.224(另一端为)。理论上吊扎(支撑)点应在节点，但节点处试样激发接收均困难。为此可在试样节点和端点之间选不同吊扎(支撑)点，用外推法找出节点的共振频率。推荐采用在两端附近进行激发和接受，这非常有利于室温及高温下的测定。须注意(13-8)式是在时推出，否则要作修正，(修正)=(未修正)，当材料泊松比为0.25时值如表13-2，注意表13-2 径长比/0.020.040.060.080.10修正系数K1.002l.0081.0191.0331.05l【实验装置】实验装置可用两种方
9、式进行测量：悬挂方式：装置如图13-5：二个换能器能在柱状空间任意位置停留，悬线室温下采用0.050.15mm铜线、高温下采用铜线(450)或NiGr(1000)丝，粗硬的悬线会引入较大误差。支撑方式：支撑式测定支架如图13-6：试棒4通过特殊材料搭放在二个换能器上，无需捆绑即能准确、方便测出基频和一次谐波共振频率，支架横杆AB上有2和5二个换能器，间距可调节。图13-5 图13-6试样几何尺寸及质量测量：试样一般直径为510mm、长140200mm，其它矩形、正方、圆筒状(均匀试样)，金属或非金属均可。用游标卡尺测量长度。用螺旋测微计测出直径取平均值，质量用电子天平测定。测试样在不同温度下的
10、弹性模量时先支撑支架测出试样的共振频率后再入炉升温并跟踪测量。为得到最好的激发接收效果，悬挂时，采用在试样的两端激发接收的方式。测量前将悬挂支架的二根立柱连同换能器移放并固定在加热炉的平台上，换能器二个小钩应在炉体开口正上方。用由0.050.15mm高温悬丝(Ni-Cr或Fe-Cr-A1)将试样绑好绑紧，捆绑时可将悬丝在试样上绕23周后打一活结，然后再拉紧，调整二悬丝要在通过试样直径的铅垂面上(可从二端观察孔观察)。将试样调整到水平位置，测定时二悬丝不能同任何物体接触。试样悬挂完毕，并测出共振频率后，用保温毡将炉体上方的开孔及炉体二端封闭，只在悬丝附近保留二个小孔。整套变温装置由热电偶-温控器
11、-加热炉三部分组成。图13-5、图13-6中：1是功率函数信号发生器，本身带5位数字显示频率计。它发出的声频信号经换能器2转换为机械振动信号，该振动通过悬丝(或支撑物)3传入试棒引起试棒4振动，试棒的振动情况通过悬丝(或支撑物)3传到接受换能器5转变为电信号进入示波器显示。调节功率函数信号发生器1的输出频率，如试样共振则能在示波器6上看到最大值，如将信号发生器的输出同时接入示波器的X轴，则当输出信号频率在共振频率附近扫描时，可在显示屏上看到李萨如图形(椭圆)的主轴会在Y轴左右偏摆。如需测定不同温度下的杨氏模量，需将试样置于变温装置7内，炉温由温控器8控制调节。注：共振频率和固有频率是相关的两个
12、不同概念，其关系为：式中值远大于30，由于上式可知以代替所导致的偏差不会大于0.03%，故我们通常忽略两者差别。需要指出：（1）上述几个公式都是对：“长杆”即的情况下导出，当此条件不能满足时，上述公式需修正，即，修正系数与径长比及材料的泊松比有关，当、时，。对切变模量，与形状有关。（2）当时，对圆杆各次谐波频率的比值为。当不能满足时（例如对、）上述频率比应作修正。装置各部分如下：1功率函数信号发生器，可产生5500KHz、功率（6W）的信号，有粗调及二级精密（0.1Hz）微调，石英稳频，有方波、正弦波及三角波三种波形输出，本实验使用正弦波，其输出强度可用分段或连续调节，输出频率数值由5位LED
13、直接显示，本信号发生器还可以当外测频率计（5100kHz）使用。本机装有过载保护，自动报警装置，一旦超载，仪器即发出报警信号并自动切断输出，这时应迅速切断仪器电源并排除故障，约10余秒后重新启动，仪器又能正常工作。 分别有激发接收放大器，当感到自备信号源功率不足或感到接收信号微弱时使用，其放大倍率分别为10100倍，一般情况下采用的信号源及换能器时无须使用放大器。22和5为激发和接收换能器，2将电信号变为机械振动信号输入试样，5为接收换能器用以检测试样振动情况。两种换能器均采用压电换能器。34是试样（圆柱、圆管、矩形均可）。但直径必须一致，质量分布必须均匀，试样内部不能有夹渣、气孔及偏析，否则会出现多个共振频率。通常采用，圆柱试样。46为示波器，其灵敏度最好为5mv/div以上，但10mv/div的亦勉为可用
