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1、例1图示简支梁中间受集中力P作用试导出横力弯曲时剪切应变能J并以矩形取微体积 dV=dA.dx则有dV = v dV = F (X)丫 丫=J dVv 丫s*zdAdxVc *3J z dAF 2(x)s2GI 2 A b2zdx引入记号 = -A JI 2 AI2z(S*)2 dAb2对于矩形截面梁a为i 2GAA f (s*)2144 fh 1 ( h2JdA J 2_bh5 h 4 ( 4 -2 Va I 2 A b2 z2 bdy = 65(2)两应变能的比较(V : V Y对图示简支梁则按上式M 2 ( x)dxV J812 EIV -J M 2( x)dx - 2 上82EI1 (
2、F )一x丿0 2EIL2两应变能之比:V812 EI azGA1 2矩形截面aI _h2k A 12VY=aJ iXFs (x) = f2dx =96 EIV : V =Y 85a ( F、2GA L2 丿=2J 2-02aF 21dx =8GA取= 0.3，当! = 5，以上比值为0.125；当! = 10，为0.0312。由此可见，对细长 hh梁来讲，剪切应变能可以忽略不计，而短粗梁应予考虑。例2外伸梁ABC在自由端C受铅垂载荷F作用，已知EI为常数，试用功能原理求C 端的挠度（略去剪切变形影响）。ITTZ133EIP5 - R 51 B 2竺（31 - a）-肚6 EI3EI例 3 装
3、有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁如图示，试用互等定理求解。解：解除支座B,把工件看成悬臂梁， 将切削力P及顶针反力RB作为第一组力，设B想在同一悬臂梁右端作用单位力X=l,作为第 二组力。在X=1作用下悬臂梁上的P及RB作B 用点的相应位移分别为第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为：第一组力作用下，其右端 B 实际位移为零，所以第二组力在第一组力引起的位移上所 做的功等于零。由功互等定理有：吐a） - Rb = 06 EI3EIP a 2由此解得：Rb =勺石a例4如图示外伸梁抗弯刚度为EI,不计剪力对变形的影响，试求外伸端C 和左端截面的转角0A。解：外伸端C作用有集中力P，截面A作用
4、 有集中力偶矩m,根据卡氏定理有：,_ 0气 _ J M (x) dM (x) d cdPi EldP0 = &A dmd V _ J M (x) dM (x) Ei7 dx dm弯矩应分段表达AB 段：M (x )二 R x m 二11 A 1mPa c1丿dM ( x )a1 i _xdPl idM ( x ) x1 i _ i 1 dmlBC段：M2（叮3则：dV&dPEiPa )1 a )cx 一 m一 xdxl丿11 l 1丿1dM (x )22 VdP2dM (x )22 dmmT+ fa0Pa 2PxET(x )dx22EI 3mal+ +6dV&dmI EI(x f 1-1 d
5、x + Ja = (Px ) - (0)dx I l丿fa 11 0 EI 1_ 11 ml+PallEI 36 丿这里fC与eA皆为正号，表示它们的方向分别与P和m作用方向相同，而如果是负号, 则表示与之方向相反。用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的载荷，如果计算某处 位移，而该处没有与此位移相应的载荷，则可采用附加力法，最后在积分或积分结果中令 该附加力=0,便可得到要求的结果。例 5 如图示线弹性材料悬臂梁，自由端 A 作用f 仝iM(x)a ap o eidM (x) 7 dxapM (x) = - Px ,aM ( x)=-xap有集中力，若 P、l、EI 已知，
6、不计剪力对变形的影响，试求：1)加力点A的位移fA； 2)非加力点B的位移 fB。解: (1)求加力点A的位移，用卡氏定理：代入上式得：- px(- x)dx =Pl 33EI求非加力点B的位移时，可在B点附加力P，仍用fB =誚，有附加力P后弯矩为：AB 段: M 1(x) = -Px， 異=01apdM (x)1OPBC 段：M2(x) = Px - P(x - 22k 2丿=J IL Px - P(x -1 2)E-1 (x - L 2)l/x(1A Pxl x _ J k 2丿 丄 EI2dx - + J12(1AP x -k 2丿 EI_dx5P1 3P1 3+48EI 24 EI因
7、为实际上B处并无力作用，故应令上式中的P = 0才是实际情况下B处位移，故5 P1348EI由以上计算可见，在加附加力计算非加力点位移时，只要在计算OV&OP时考虑附加力，而在M(x)中，可令P = 0，则积分计算可以简化。例6图示刚架的抗弯刚度为EI,若不计轴力与剪力对位移的影响，试计算B点的水平 位移ABx和C点的垂直位移ABy及水平位移ACxo7779.5 虚功原理虚位移指的是弹性体的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的“虚”字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关， 而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干 扰）造成的满足位移约束、连
8、续条件的几何可能位移。对于虚位川川 / 厂移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平麗冀一二二盘 衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。虚功原理又称虚位移原理：如果给在载荷系作用下处于平衡的变形结构以微小虚位移, 则外力系在虚位移上所做的虚功等于内力在 相应虚变形上所做的虚功，即：W 二 Wei证明：如图示梁，受外力F1, F2，F作1-)I C. :.( -I12n用而处于平衡。在给此梁任一虚位移时，所 有载荷作用点均有沿其作用方向的虚位移A*，A *，A *。所有外力在相应虚位移12n上做的总虚功为：W = F
9、A* + F A* + F A*e 1 1 2 2 n n梁的总虚功也可由内力求得。从梁中取出任一微段dx来研究，微段左、右截面上内力有：剪力FS、Fs+dFs，弯矩M、 M+dM。对微段，这些力可看作是外力。微段的虚位移可分为刚体虚位移和变形虚位移，在 载荷作用下梁所有微段都会发生变形，所研究微段因其余各微段变形而发生虚位移，就是 此微段的刚体虚位移，而由于该微段本身变形所引起的虚位移称为变形虚位移。由于微段 处于平衡状态，由质点系虚位移原理知，所有外力对于该微段的刚体虚位移所做的总虚功 必等于零。而该微段的变形虚位移为图（c）、（d）,此时弯矩、剪力在变形虚位移上所做的 虚功为（略去高阶小
10、量）：W =f （Md0 * + F d九*）i l S=J MdO * + J*这两个总虚功相等，故有：普遍公式：工FA* = JF d(Al)* + JMdO * + JF d九* + JTd申 * i iNSi=1F A*iii=1外力在虚位移上所作的虚功等于内力在相应虚变形上所作的虚功一虚功原理 在导出虚功原理时，并没有涉及应力一应变关系，因此与材料性质无关，故这一原理可用于线性弹性材料，也可用于非线性应力应变关系的材料。9.6 单位载荷法.莫尔积分单位载荷法：用于求结构上某一点某方向上位移的方法。如要求图示刚架A点a-a方向的位移，可将该系统真实位移作为虚位移，而将单位 力(广义力)
11、作用于同一结构上A点a-a方向的结构作为一个平衡力系，则应用虚功原理有：lS1 -A = f F (x)d (Al) +J M (x)dO +J F (x)d 九 lN其中，F (x)，M(x)，F (x)是单位力作用下系 NS统的内力，而(/), dO，d入是原系统的变形，现 在被看作是虚变形；是原系统上A点沿a-a方向的 真实位移。对于以拉压杆件，则只保留上式的第一项：A = f F (x)d (Al),N若杆的内力F (x)=常数，则上式改为:NA = F J dAl = F AlN lN对于有 n 根杆组成的桁架，则有：A = W F AlN i ii=1对横力弯曲梁，忽略剪力的影响，
12、有：A = J M (x)d0l仿照上述推导，如要求受扭杆某一截面的扭转角，则以单位扭矩作用于该截面，并引起 扭矩T(x)，以原结构引起微段两端截面相对扭转角d9为虚位移，贝y：A = J T (x)dpl以上诸式中。如求出的为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。若结构材料是线弹性的，贝有：d0=Mx) dxEIFl=N-L-(EA)dT (x)dxGId4xGAM (x)M (x)dxlEln F Fi Nl (EA) i i1iT (x)T (x)dxi GIF F d dxi EAMFTT ,dxs_dxdxi EIi GAiGIP这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然
13、只适用于线弹性结构。当需要求两点的相对位移时，如上图所示截面要求A与B的相对位移 .+_,则只要AB在 A， B 两点的联线方向上加一对方向相反的单位力，然后用单位载荷法计算，即可求得相 对位移，因为这时的“1 -A a +1AB，即是A, B两点的相对位移。同理，如需要求两截 面相对转角，只要在两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。例题 5 抗弯刚度为 EI 的等截面简支梁受均布载荷作用。试用单位载荷法计算梁中点 C 的挠度和支座A截面的转角，剪力对弯曲变形的影响可略去不计。 1例 6由图（a）所示刚架的自由端A作用集中载荷F。刚架各段的抗弯刚度已于图中标例题7下图所示为一简单桁架，其各杆的EA相等。在图示载荷作用下，试求A、B两 节点间的相对位移A AC例题8直径为d的四分之一圆弧形曲杆，圆弧的半径为R, A端固定，B端受有垂直于 圆弧平面的力F作用，如图所示。若F、R、d、E和G等为已知
