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1、数学建模综合练习一、数学建模方法论 1举出两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型 2怎样解决下面的实际问题包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等 （1）估计一个人体内血液的总量 （2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额） （3）估计一批日光灯管的寿命 （4）确定火箭发射至最高点所需的时间 （5）决定十字路口黄灯亮的时间长度 （6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划 （7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划3下面是众所周知的
2、智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少 4假定人口的增长服从这样的规律：时间t的人口为x (t)，t到t+Dt时间内人口的增长与xm- x(t)成正比（其中xm为最大容量）试建立模型并求解作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较 5为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题： （1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅
3、馆某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点为什么？ （2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？ （3）某人住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟问他步行了多长时间
4、6在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1试用比例方法构造模型解释这个现象 （1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素wad （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小解释实际意义是什么？ 7用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角a应多大（如图1）若知道管道长度，需用多长布条（可考
5、虑两端 图1的影响）如果管道是其它形状呢？ 8建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r，kr在每一生产周期T内，开始的一段时间（0tT0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0tT）只销售不生产，画出贮存量的图形设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期讨论kr和k r的情况二、初等数学模型 1在2.5节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度l与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型 2设某产品的售价为p，成本为q，售量为x（与产量相等），则总收入与总支出分别为，试在产销平衡的情况下建立最优价格模型
6、3在最优价格模型中，如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型 4在考虑最优价格模型问题时，设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q=q0 +bt，b为增长率又设单位时间的销售量为x = a bp（p为价格）今将销售期分为0 t T /2和T/2 t T两段，每段的价格固定，记作p1，p2求p1，p2的最优值，使销售期内的总利润最大如果要求销售期T内的总销售量为Q0，再求p1，p2的最优值三、微分方程模型 1对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型 （1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的 （2）总
7、人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低 （3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用2建立铅球掷远模型不考虑阻力，设铅球初速度为v，出手高度为h，出手角度为a（与地面夹角），建立投掷距离与v，h，a的关系式，并求v，h一定的条件下求最佳出手角度 3与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：，其中r和N的意义与Logistic模型相同 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x*0 4在一种溶液中，化学物质A分解而形成B，其速度
8、与未转换的A的浓度成比例转换A的一半用了20分钟，把B的浓度y表示为时间的函数，并作出图象四、运筹学模型 1一家保姆公司专门向顾主提供保姆服务根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天，保姆从该公司而不从顾主那里得到报酬，每人每月工作800元春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职 （1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划（建立数学模型） （2）如果在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘
9、计划（建立数学模型） 2某工厂生产两种产品A、B分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表产品预测售量（万件/周）生产率（件/小时）单位利润（元/件）A710000.15B4.510000.3制定一合理的生产方案，要求依次满足下列目标： （1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内； （3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比； （4）尽量减少加班时间例3 医院为病人配制营养餐，要求每餐中含有铁不低于50单位，蛋白质不低于40单位，钙不低于42单位假设仅有两种食品A和B可供配餐，相关数据见下表
10、试问，如何购买两种食品进行搭配，才能即使病人所需营养达到需求，又使总花费最低？ 食品营养含量A B（单位）铁蛋白质钙10 55 86 5（mg）(g)(mg)价格4 3(元/kg)五、概率统计模型 1报童每天订购的报纸，每卖出一份赢利a元，如果卖不出去并将报纸退回发行单位，将赔本b元每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失设P(m)是售出m份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小2血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗
11、传传递这种缺损的能力若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型假设有一笔1000万元的资金于依次三年年初分别用于工程A和B的投资每年初如果投资工程A，则年末以0.4的概率回收本利2000万元或以0.6的概率分文不收；如果投资工程B，则年末以0.1的概率回收2000万元或以0.9的概率回收1000万元假定每年只允许投资一次，每次只投1000万元；试确定第3年末期望资金总数为最大的投资策略 4某石油公司必须就下一个打井位置作出决定如果打出来的井什么也没有（既无油也无天然气），则投资费用（打井费用）全部赔掉如果打出来的是气井，则可以说是部分成功，如果打出来的是油井，则是完全成功由于结果的不确定性，更由于做某种测试（取样）只能得到不完全的信息，因而作出决定是困难的试建立一个数学模型，使公司的预期收益最大 3
