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1、数列的几种递推公式a 二 a + f (n)n+1n解法：把原递推公式转化为a - a二f (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。n +1 n例匕已知数列满足二21a = a +n+1nn 2 + n二 f (n)a解法：把原递推公式转化为齢二/(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例2:已知数列 满足a二2，a =a，求a。n13 n +1 n + 1 nn例 3：已知a = 3 , a = a(n 1)，求a。1n +1解.a = 3(n _ D _ 1 3(n - 2) -1 n 3(n -1) + 2 3(n - 2) + 23n - 4 3n - 75 26 3 3n -1 3n
2、 - 48 53n -1。变式:已知数列a,满足a=l,n1a a + 2a + 3a + (n 1)a(nM2),贝卩n 123n -1a的通项annn1n2an+1用此式减去已知式,解：由已知,得 a a + 2a + 3a + (n 1)a1得23+ na , n -1n当 n 2 时，a - an +1 n na即 a (n + 1)a ,n +1n又 a a 1, 21a a aa.a 1, 2 1, 3 3, 4 4,* , n n ,1 a a aa123n-1将以上n个式子相乘，得a - n! (n 2)n2三、a - pa + q (其中p, q均为常数，(pq(p -1)丰
3、0)。 n+1n解法(待定系数法)把原递推公式转化为：a -1 - p(a -1)，其中t -亠,n+1n1 - p再利用换元法转化为等比数列求解。例4.已知数列 中， a 二 1, a 二 2a + 3, 求 a .n1n+1nn解：设递推公式a二2a + 3可以转化为n+1na t= 2(a -1)即 a = 2a t t = 3.n+1nn+1n故递推公式为a + 3 = 2(a + 3),n+1n令 b 二 a + 3，贝Q b = a + 3 = 4,且n +1 =红+= 2.n n11b a + 3nn所以罷是以b二4为首项，2为公比的等比数列， n1则 b = 4 X 2n-1
4、= 2n+1，所以 a = 2n+1 3.nn则该数列的通项变式：在数列a 中，若a = 1,a = 2a + 3(n 1),n1n+1na = (key ： a = 2n+1 3)nn四、类型4 Ji = Pan + qn （其中P，q均为常数，（卩口（P - DS - 1）丰0）。（或 =+1 = pan + rqn，其中 P，q, r 均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1,apa1a得：qn+1qqnq引入辅助数列叮（其中n qn）,b 匕 b + -得： n+1 q n q 再待定系数法解决。例5:已知数列W 中,n+1n+1na 1 a + (丄)n+1解：在
5、n+13 n 2 两边乘以2 n+1得:2 n +1 an +1-(2n a ) +1 3nb b +1令 bn = 2 n an，则+13 n ，解之得:b 3 - 2(2)nn3b2n所以昭）n-2(3)n五、递推公式为Sn与a的关系式。(或Sn= f叫)解法：利用nS1Sn-Sn-1(n = 1)(n 2)与 a 二 S - S 二 f (a ) - f (a )nnn-1nn-1消去Sn (n 2)或与Sn二f (Sn 一 nJ ( 2)消去3进行求解。例6数列前n项和-12 n-2(1) 求3+1与an的关系；(2)求通项公式解：1)得：Sn +1n +112 n-1S -S于是 n
6、 +1n=(a-a ) + (丄-丄)n+12 n - 22 n-1111a = aa +n a = a+ -所以 n+1nn +12 n -1n +12 n2nn(2)应用类型(an+1 = Pan + qn (其中 P，q 均为常数,(Pq(P - 1)(q - 1)丰 0)的方法，上式两边同乘以2 n+1得：2n+1 an+i = 2nan + 21nana 二 S 二 4 a n a 二 1k 卜由111 21-21 于是数列2nan是以2为首项，2为公差的等差_ n数列，所以 2巴=2 + 2(n - 1) = 2nn2n-1六、倒数变换:cann+1 a + dn的形式的方法叫倒数
7、变换.将递推数列a（心0, d丰0）,取倒数变成丄二-丄+ - c a cnan+1=缶，求数列3的通项公式.nn+1例7.已知数列a (n e N*)中，a二1, an1【解析】：将a取倒数得：丄二2 +丄，.-丄-丄二2 ,n+1 2a + 1a a a ann +1nn +1 n丄|是以丄二1为首项，公差为2的等差数列.a I an111 二 1 + 2(n -1),a 二 an 2n -1n跟踪训练已知数列a 中,n，an+1磊，求数列a的通项公式.二、数列的求和(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和cn(a + a )n(n - 1)dS = i n = na +n212；9na
8、 q = 1a (1 - qn)1-q1.已知等差数列耳的前n项和为Sn = pn2 - 2a + q(p，q e R)，n e N(I) 求q的值；(II) 若a与a的等差中项为18, b满足an = 2log2 bn,求数列的b 前n项和.15nn(I)解法一：当 n = 1 时，a1 = S = p 2 + q ,当 n 21时 a S S pn2 2n + q p (n 1)2 + 2(n 1) q 2 pn p 2 n nn 1是等差数列，p - 2 + q = 2p - p - 2 q = 094分解法二：当 n =1 时，a1 = S1 = p 2+q,当 n 2 时 a = S
9、 S = pn2 2n + q p (n 1)2 + 2(n 1) q = 2 pm p 2 n nn 1当 n 3 a a = 2pn p 2 2p(n 1) p 2 = 2pa = p-2+q+2p =3p-2+q2a = 2 p 2 p 2 = 3 p 2又2,所以 3 p 2 + q = 3 P 2，得 q = 0.4分(II)解:a + aa 1气12.18 又 a 6p p 26p p 2 18 /. p 48分人24( n1)1 24 16 r 又3= 2lOg2 bn得= = 6,即是等比数列.所以数列呼的前n项和Tn =晋=汕-1)(2) 分组求和：，的前n项和1 + 4 +
10、 7丄 + 3n - 2如：求 1+1, a , a2，an-1(3n + 1)n2(3n -1)n注：(3) 裂项法：1a 如 nn(n + 2)求 sn常用的裂项有1 1- 1, , , , ,n(n +1)n n +1 ；1n(n + 2)2n1n(n + 1)(n + 2)2 n(n +1)(n + 1)(n + 2) b 1 故丁 = Jn16n 一 56n +1= 2(1 -丄)+ (丄-)+. + (- -) =2 L 77131(1 6n +1 ).2.已知二次函数y二f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)二6x-2，数列an的前口项和为Sn，点(仏Sn)()均在函数歹
11、二f (X)的图像上。(I)、求数列an的通项公式；T m(II)、设JTn是数列bn的前n项和，求使得n 20对所有n e N*都成立的最小正整数m； 解：(I)设这二次函数 f (x)=ax2+bx (aHO)，则 f(x)=2ax+b, 由于 f(x)=6x2,得a=3 ,b=2,所以 f(x)=3x22x又因为点(n，Sn)(n e N*)均在函数y二f (x)的图像上，所以Sn =3n22n. 当 nM2 时，a=S S =(3e2n)(n 1)2 2(n lJ=6n5n n n1当 n=1 时，a =S =3X122=6X15，所以，a =6n5 ( n e N* )11n(11)
12、由(I)得知 n =(6n - 5)k(n -1) - 5= 2(6n - 56n +1),11m1 m因此，要使2 (1 硏1 ) 刃(n e N* )成立的m,必须且仅须满足2 W 20, 即mM10，所以满足要求的最小正整数m为10.错位相减法：其特点是cn=anbn其中aj是等差，bj是等比 如：求和 S =1+3x+5x2+7x3+ (2n1)xn-1 注意讨论 x，nn 2x = 1S (2n 1)xn+1 (2n +1)xn + (1 + x)n x丰 1I(1 - X)2(5)倒叙相加法：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的 如求证：C o+3C 1+5C 2+(2n1) C n=(n+1)2nn n nn
