《高考数学 第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算课件 理 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算课件 理 新人教A版（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节 平面向量的概念及其线性运算1.1.向量的有关概念向量的有关概念(1)(1)定义：既有定义：既有_，又有，又有_的量叫做向量的量叫做向量. .(2)(2)表示方法：表示方法：用字母表示：用字母表示：a, ,b, ,c；用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示：如用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示：如 其中有向线段的长度表示向量的其中有向线段的长度表示向量的_，箭头所指的方向表示，箭头所指的方向表示向量的向量的_._.(3)(3)模：向量的模：向量的_叫做向量的模，记作叫做向量的模，记作| |a|,|,|b| |或或大小大小方向方向大小大小方向
2、方向长度长度2.2.特殊向量特殊向量 名名 称称 说说 明明 零向量零向量 长度等于长度等于_的向量，其方向是的向量，其方向是_，记作，记作0 单位向量单位向量 长度等于长度等于_的向量的向量 平行向量平行向量 方向方向_的非零向量，又叫共线向量，规定：的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线与任一向量共线 相等向量相等向量 长度相等且方向长度相等且方向_的向量的向量 相反向量相反向量 长度相等且方向长度相等且方向_的向量的向量 0 0任意的任意的1 1个单位个单位相同或相反相同或相反相同相同相反相反3.3.向量的加法与减法向量的加法与减法(1)(1)向量的加法向量的加法三角形法则：已
3、知非零向量三角形法则：已知非零向量a, ,b, ,在平面内任取一点在平面内任取一点A A，作，作 = =a, =, =b, ,则向量则向量 叫做叫做a与与b的和，记作的和，记作_,_,即即_= ,= ,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则；形法则；a+ +ba+ +b平行四边形法则：以同一点平行四边形法则：以同一点O O为起点的两个已知向量为起点的两个已知向量a，b为为邻边作邻边作 OACBOACB，则以，则以O O为起点的对角线为起点的对角线 就是就是a与与b的和，这种的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则；作两个向量和的方法叫
4、做向量加法的平行四边形法则；向量加法的几何意义：如图所示向量加法的几何意义：如图所示. .(2)(2)向量的减法向量的减法定义：定义定义：定义a- -b= =a+_,+_,即减去一个向量相当于加上这个向即减去一个向量相当于加上这个向量的量的_；几何意义：如图，几何意义：如图， = =a, =, =b, ,则则 = .= .(-(-b) )相反向量相反向量4.4.向量的数乘运算及其几何意义向量的数乘运算及其几何意义(1)(1)定义：实数定义：实数与向量与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：，它的长度与方向规定如下：
5、|a|=|=|a|;|;当当0 0时，时，a与与a的方向的方向_；当；当0 0时，时，a与与a的方的方向向_；当；当0 0时，时，a= =0. .相同相同相反相反(2)(2)运算律：设运算律：设，是两个实数，则是两个实数，则_=()_=()a；(+)(+)a=_=_；(a+b)=_. )=_. 5.5.共线向量定理共线向量定理向量向量a( (a0) )与与b共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数,使使_._.( a) )a+ aa+bb=a判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有
6、向线段来表示向向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量量.( ).( )(2)(2)两向量不能比较大小两向量不能比较大小.( ).( )(3)(3)若向量若向量a, ,b共线，则向量共线，则向量a, ,b的方向相同或相反的方向相同或相反.( ).( )(4)|(4)|a| |与与| |b| |是否相等与是否相等与a, ,b的方向无关的方向无关.( ).( )(5) .( )(5) .( )(6)(6)共线向量定理共线向量定理b=a中，当中，当a= =0时，则实数时，则实数不唯一不唯一.( ).( )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .向量是可以自由平移的，而有向线段是有端向量是
7、可以自由平移的，而有向线段是有端点的，端点不同，则有向线段不同点的，端点不同，则有向线段不同. .故向量与有向线段不同，故向量与有向线段不同，但向量可用有向线段来表示但向量可用有向线段来表示. .故不正确故不正确. .(2)(2)正确正确. .由于向量是具有大小和方向的量，因此无法比较大小由于向量是具有大小和方向的量，因此无法比较大小. .故正确故正确. .(3)(3)错误错误. .当当a, ,b中有一个为中有一个为0时，其方向是不确定的时，其方向是不确定的. .故不正确故不正确. .(4)(4)正确正确. .当当| |a|=|=|b| |时，说明时，说明a, ,b的模相等，与方向无关的模相等
8、，与方向无关. .故正确故正确. .(5)(5)正确正确. .首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，故正确指向最后一个向量终点的向量，故正确. .(6)(6)错误错误. .当当a= =0且且b= =0时，则实数时，则实数可为任意实数，故不唯一；可为任意实数，故不唯一；当当a= =0且且b0时，时，不存在不存在. .故不正确故不正确. .答案答案: :(1)(1) (2) (3) (2) (3) (4) (5) (6) (4) (5) (6) 1.D1.D是是ABCABC的边的边ABAB上的中点，则向量上的中点，则
9、向量 等于等于( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D) (C) (D) 【解析【解析】选选A.A.如图，如图，2.2.判断下列四个命题：判断下列四个命题：若若ab，则，则a= =b；若若| |a|=|=|b| |，则，则a= =b；若若| |a|=|=|b|,|,则则ab；若若a= =b，则，则| |a|=|=|b|.|.其中正确的个数其中正确的个数是是( )( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析【解析】选选A.A.中两向量共线，但这两向量的方向、模均不一中两向量共线，但这两向量的方向、模均不一定相同，故不一定相等；定相同，故
10、不一定相等；中两向量的模相等，但方向不一定中两向量的模相等，但方向不一定相同，故这两向量不一定相等；相同，故这两向量不一定相等；中两向量的模相等，但两向中两向量的模相等，但两向量不一定共线；量不一定共线；中两向量相等，则模一定相等，故正确中两向量相等，则模一定相等，故正确3.3.若若O O，E E，F F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D) (C) (D) 【解析【解析】选选B. .B. .4.4.如图，正六边形如图，正六边形ABCDEFABCDEF中，中， ( )( )(A)(A)0(B)(
11、B)(C)(C)(D)(D)【解析【解析】选选D. .D. .5.5.设设a, ,b是两个不共线的向量，且向量是两个不共线的向量，且向量a+b与与2 2a- -b共线，共线，则则_._.【解析【解析】由题意知由题意知a+b=k(2=k(2a- -b) )，则有，则有kk ， . .答案答案: :考向考向1 1 平面向量的有关概念平面向量的有关概念【典例【典例1 1】(1)(1)下列命题中：下列命题中：时间、速度、加速度都是向量；时间、速度、加速度都是向量；向量的模是一个正实数；向量的模是一个正实数；所有的单位向量都相等；所有的单位向量都相等；共线向量一定在同一直线上共线向量一定在同一直线上.
12、.其中真命题的个数是其中真命题的个数是( )( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)(2013(2)(2013广州模拟广州模拟) )下列结论中，不正确的是下列结论中，不正确的是( )( )(A)(A)向量向量 共线与向量共线与向量 意义相同意义相同(B)(B)向量向量 ，则向量，则向量 (C)(C)若若a= =b, ,b= =c，则，则a= =c(D)(D)若向量若向量a, ,b满足满足| |a|=|=|b| |，则向量，则向量a与与b的方向相同的方向相同(3)(2013(3)(2013宜宾模拟宜宾模拟) )给出下列命题：给出下列命题：两个具有共
13、同终点的向量，一定是共线向量；两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；若若a与与b同向，且同向，且| |a|b| |，则，则a b；,为实数，若为实数，若a=b，则，则a与与b共线共线. .其中错误命题的序号为其中错误命题的序号为_【思路点拨【思路点拨】(1)(1)根据向量及其有关概念分析解题即可根据向量及其有关概念分析解题即可. .(2)(2)根据向量共线、相等的定义逐一分析即可根据向量共线、相等的定义逐一分析即可. .(3)(3)根据共线向量的概念逐一分析判断可得结论根据共线向量的概念逐一分析判断可得结论. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.中时间不是向量，不正确；中时间不是
14、向量，不正确；中向量中向量的模可以为的模可以为0 0，故不正确；，故不正确；中单位向量的模相等，但方向不中单位向量的模相等，但方向不一定相同，故不正确；一定相同，故不正确；中共线向量所在的直线可能平行，故中共线向量所在的直线可能平行，故不正确不正确. .综上选综上选A.A.(2)(2)选选D.D.向量的共线与向量的平行是同义的，故向量的共线与向量的平行是同义的，故A A正确；根据相正确；根据相反向量的概念可得反向量的概念可得B B正确；由向量相等的概念可知正确；由向量相等的概念可知C C正确；当两正确；当两向量的模相等时，方向不一定相同向量的模相等时，方向不一定相同. .故故D D不正确不正确
15、. .(3)(3)不正确，虽然终点相同，但两个向量也不正确，虽然终点相同，但两个向量也可能不共线，如图，可能不共线，如图，a, ,b即不共线；即不共线；不正确，不正确，向量不能比较大小；向量不能比较大小；不正确，当不正确，当=0=0时，时，a与与b可为任意向量，不一定共线可为任意向量，不一定共线. .综上综上都不正确都不正确. .答案答案: :【拓展提升【拓展提升】平面向量中常用的几个结论平面向量中常用的几个结论(1)(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. .(2)(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量向量可以平移，平移
16、后的向量与原向量是相等向量. .解题时解题时不要把它与函数图象的平移混为一谈不要把它与函数图象的平移混为一谈. .(3) (3) 是与是与a同向的单位向量，同向的单位向量， 是与是与a反向的单位向量反向的单位向量. .【变式训练【变式训练】(1)(1)设设a是任一向量，是任一向量，e是单位向量，且是单位向量，且ae，则，则下列表示形式中正确的是下列表示形式中正确的是( )( )(A)(A)e= (B)= (B)a=|=|a| |e(C)(C)a=-|=-|a| |e (D) (D)a= =| |a| |e【解析解析】选选D.D.对于对于A A，当，当a= =0时，时， 没有意义，错误；对于没有
17、意义，错误；对于B B，C C，D D当当a= =0时，选项时，选项B B，C C，D D都对；都对；当当a0时，由时，由ae可知，可知，a与与e同向或反向，选同向或反向，选D.D.(2)(2)给出下列命题：给出下列命题：若若A A，B B，C C，D D是不共线的四点，则是不共线的四点，则 是四边形是四边形ABCDABCD为为平行四边形的充要条件；平行四边形的充要条件；0 0a=0=0；a= =b的充要条件是的充要条件是| |a|=|=|b| |且且ab；若若a与与b均为非零向量，则均为非零向量，则| |a+ +b| |与与| |a|+|+|b| |一定相等一定相等其中正确命题的序号是其中正
18、确命题的序号是_【解析【解析】正确；正确；一方面，数乘向量的结果为向量，而不是一方面，数乘向量的结果为向量，而不是实数实数; ;另一方面，实数与向量的数乘运算不能用符号另一方面，实数与向量的数乘运算不能用符号“”，故不正确；故不正确；当当a= =b时时| |a|=|=|b| |且且ab，反之不成立，故错误；，反之不成立，故错误；当当a, ,b不同向时不成立，故错误不同向时不成立，故错误答案答案: :考向考向2 2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算【典例【典例2 2】(1)(1)如图，如图，D D，E E，F F分别是分别是ABCABC的边的边ABAB，BCBC，CACA的中点，则的中点，则
19、( )( )(A) (A) 0(B) (B) 0(C) (C) 0(D) (D) 0(2)(2013(2)(2013泉州模拟泉州模拟) )已知已知P P，A A，B B，C C是平面内四点，是平面内四点，且且 ，那么一定有，那么一定有( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)(3)(2013(3)(2013湛江模拟湛江模拟) )在在ABCABC中，中，E E，F F分别为分别为ACAC，ABAB的中点，的中点，BEBE与与CFCF相交于相交于G G点，设点，设 = =a， = =b，试，试用用a, ,b表示表示 . .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)利用平面向量的线
20、性运算并结合图形求解利用平面向量的线性运算并结合图形求解(2)(2)将向量将向量 分解为以点分解为以点P P为起点的两向量的差，然后化简即为起点的两向量的差，然后化简即可可. .(3)(3)结合图形，利用向量加法将结合图形，利用向量加法将 表示为相关向量的线性运算表示为相关向量的线性运算式式. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A. A. 0， 0，即即 0. .(2)(2)选选D.D.由题意得由题意得 ，即即 . .(3)(3)设设 (，m m0)0)，则，则= = = = .= .又又= = ,= , 解得解得=m= =m= ， . .【拓展提升【拓展提升】向量线性运算的注意点向量线
21、性运算的注意点(1)(1)一个关系一个关系当向量当向量a, ,b不共线时，不共线时，a+ +b的方向与的方向与a, ,b的方向都不相同，且满的方向都不相同，且满足足| |a|-|-|b|a+ +b|b| |，则，则a+ +b与与a同向，且同向，且| |a+ +b|=|=|a|-|-|b|;|;若若| |a|b| |，则，则a+ +b与与b同向，且同向，且| |a+ +b|=|=|b|-|-| |a|;|;若若| |a|=|=|b|,|,则则a+ +b与与a( (b) )同向，且同向，且| |a+ +b|=0.|=0.(2)(2)两个结论两个结论向量的中线公式：若向量的中线公式：若P P为线段为
22、线段ABAB中点，则中点，则 ；向量加法的多边形法则向量加法的多边形法则: : . .【提醒【提醒】当两个向量共线当两个向量共线( (平行平行) )时，三角形法则同样适用时，三角形法则同样适用. .向向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线当两个向量共线( (平行平行) )时，平行四边形法则就不适用了时，平行四边形法则就不适用了. .【变式训练【变式训练】(1)(1)在在ABCABC中，中， c， b，若点，若点D D满足满足 ，则，则 ( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D) (C) (D) 【
23、解析【解析】选选A. A. ， ， , , . .(2)(2)若若A A，B B，C C，D D是平面内任意四点，给出下列式子：是平面内任意四点，给出下列式子： ； ; ; . .其中正确式子的序号为其中正确式子的序号为_【解析【解析】由由 得，得， ，从而，从而 ，即，即 = =0, ,故不正确；故不正确；由由 得，得， ，即，即 ，故正确；，故正确；由由 得得 ，即，即 ，故正确故正确. .综上可得综上可得正确正确. .答案答案: :考向考向3 3 共线向量定理及其应用共线向量定理及其应用【典例【典例3 3】(1)(1)已知向量已知向量a, ,b, ,c中任意两个都不共线，并且中任意两个都
24、不共线，并且a+ +b与与c共线，共线，b+ +c与与a共线，那么共线，那么a+ +b+ +c等于等于( )( )(A)(A)a (B) (B)b (C) (C)c (D) (D)0(2)(2)设两个非零向量设两个非零向量a与与b不共线不共线若若 a+ +b， 2 2a+8+8b， 3(3(a- -b) )求证：求证：A A，B B，D D三点共线；三点共线；试确定实数试确定实数k k，使，使k ka+ +b和和a+k+kb共线共线. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)根据向量共线的充要条件得到向量的关系根据向量共线的充要条件得到向量的关系式，比较系数可得结论式，比较系数可得结论. .(2)
25、(2)先证明先证明 共线，再说明它们有一个公共点共线，再说明它们有一个公共点, ,从而得从而得证；证；利用共线向量定理列出方程组求利用共线向量定理列出方程组求k.k.【规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.D.a+ +b与与c共线，共线，a+ +b=1 1c. . 又又b+ +c与与a共线，共线，b+ +c=2 2a. . 由由得：得：b=1 1c- -a. .b+ +c=(=(1 1+1)+1)c- -a=2 2a， 即即a+ +b+ +c=-=-c+ +c= =0. .(2) (2) a+ +b， 2 2a+8+8b， 3(3(a- -b),), 2 2a+8+8b+3(+3(a- -b
26、) )5(5(ab) )5 ,5 , 共线共线. .又又 与与 有公共点有公共点B B，AA，B B，D D三点共线三点共线k ka+ +b与与a+k+kb共线，共线，存在实数存在实数，使，使k ka+ +b(a+k+kb) )， k k1.1.【互动探究【互动探究】本例本例(2)(2)条件不变，结论若改为条件不变，结论若改为“若向量若向量k ka+ +b和向量和向量a+k+kb反向共线，求反向共线，求k k的值的值”，则结果如何？，则结果如何？【解析【解析】kka+ +b与与a+k+kb反向共线，反向共线，存在实数存在实数，使，使k ka+ +b(a+k+kb)()(0)0)， k k1.1
27、.又又00, 0, 同向，且同向，且 . . . .2 2已知已知O O是三角形是三角形ABCABC的重心的重心( (三条中线的交点三条中线的交点) )，动点，动点P P满足满足 , ,则点则点P P一定为三角形一定为三角形ABCABC的的( )( )(A)AB(A)AB边中线的中点边中线的中点(B)AB(B)AB边中线的三等分点边中线的三等分点( (非重心非重心) )(C)(C)重心重心(D)AB(D)AB边的中点边的中点 【解析【解析】选选B.B.取取ABAB的中点的中点D D，则，则 ，故故= = = = = ,= ,故点故点P P为中线为中线CDCD的三等分点的三等分点( (非重心非重心).).
