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1、 北京四中高三数学摸底测试卷（理）试卷满分150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1已知全集，集合，那么集合为A B C D2已知平行四边形中，则A1 B C2 D 3命题甲：是上的单调递增函数；命题乙：，则甲是乙的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件4已知数列中，则数列的前项和等于A B C D5在中，则 A B C D6连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则为锐角的概率是A B C D 7已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为A或 B或 C或 D或8如图，一
2、个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为（）的平面所截，截面是一个椭圆，当为30o时，这个椭圆的离心率为A B C D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9 如图，在复平面内，复数对应的向量为，则复数=_ . 10二项式展开式中的常数项为_ . 11曲线，所围成的图形的面积等于_ . 12小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具， 作为礼品送给山区的学生已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱那么最多可以买的科普书与文具的总数是_ .13若是2和8的等比中项，则_ ，圆锥曲线的离心率是_ . 14函数的定义域为，若对于任意，当时，都有，则称函数在
3、上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：；，则_；_ . 三、填空题：本大题共6小题，共80分15（本小题满分13分）已知函数.（）求函数的最小正周期；（）当时，求函数的取值范围.16（本小题满分13分） 期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：学生数学8991939597物理8789899293（）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。（）从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值17（本小题满分14
4、分）已知：在四棱锥中，平面，.（）求证：；（）求与平面所成角的正弦值；（）线段上是否存在点,使平面？说明理由.18（本小题满分13分）已知函数.（）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值；（）若，求函数的最大值.19（本小题满分14分）已知，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径。是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两xOyBl1l2PDA（第19题图）点，交椭圆于另一点，（）求椭圆的方程； （）求面积取最大值时直线的方程20（本小题满分13分）已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的，且，有（） 判断集合是否具有性质；（） 求证：； （） 求证：参考答案B C A C C B
5、A A9； 10160； 11； 1240；13（答出一个给1分，两个给2分）； 或（答出一个给1分，两个给3分）；14 ；（第一空2分，第二空3分）；15解：（）因为 ，所以函数的最小正周期. 7分（）因为，所以.所以.所以. 所以函数的取值范围为. 13分16解：（）5名学生数学成绩的平均分为：5名学生数学成绩的方差为： 5名学生物理成绩的平均分为：5名学生物理成绩的方差为：因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定。 （）由题意可知，随机变量的分布列是X012P（X）17证明：()在四棱锥中，因为平面，平面，所以.因为，所以，所以平面.所以.
6、4分() 如图，以为原点建立空间直角坐标系. 不妨设，则.则.所以，. 设平面的法向量. 所以.即.令，则. 所以所以，即与平面所成角的正弦值为. 9分()设在线段上存在点,当时，平面. 设，则.所以.即，所以，.由()可知平面的法向量.若平面，则.即.解得，当，即为中点时，平面. 14分18解：() 函数的定义域为.，因为曲线在处与直线相切，所以解得 6分() 当时，,（1）当时，.因为时，所以在上单调递减，无最大值；（2）当时，所以在上单调递减，无最大值.（3）当时，.因为时， 时，所以在上单调递增，在上单调递减.所以. 13分19解：()由已知得到,且,所以椭圆的方程是; ()因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦; 由，所以 ，所以 , 当时等号成立，此时直线 20()解：由于，所以集合具有性质 4分（）证明：依题意有，又，因此可得所以即 8分（）证明：由()可得又，可得，因此同理，可知又，可得，所以均成立当时，取，则，可知又当时，所以 13分
