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1、 题组层级快练(六十三)1已知对任意kR,直线ykx10与椭圆1恒有公共点,则实数m的取值范围是()A(0,1)B(0,5)C1,5)(5,) D1,5)答案C解析直线ykx1过定点(0,1),只要(0,1)不在椭圆1外部即可从而m1.又因为椭圆1中m5,所以m的取值范围是1,5)(5,)2椭圆的焦点为F1,F2,过F1的最短弦PQ的长为10,PF2Q的周长为36,则此椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案C解析PQ为过F1垂直于x轴的弦,则Q(c,),PF2Q的周长为36.4a36,a9.由已知5,即5.又a9,解得c6,解得,即e.3已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点
2、F的直线交E于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,得0,即,AB的中点为(1,1),y1y22,x1x22.而kAB,.又a2b29,a218,b29.椭圆E的方程为1.故选D.4(20xx安徽安庆六校联考)已知斜率为的直线l交椭圆C:1(ab0)于A,B两点,若点P(2,1)是AB的中点,则C的离心率等于()A. B.C. D.答案D解析kAB,kOP,由kABkOP,得().e.5设椭圆1(ab0)的离心率为e,右焦点为F(c,0),方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2,
3、则点P(x1,x2)在()A圆x2y22内B圆x2y22上C圆x2y22外D以上三种情形都有可能答案A解析由已知得e,c,x1x2,x1x2,xx(x1x2)22x1x2b0),若直线AC与BD的斜率之积为,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案C解析设外层椭圆方程为1(ab0,m1),则切线AC的方程为yk1(xma),切线BD的方程为yk2xmb,则由消去y,得(b2a2k)x22ma3kxm2a4ka2b20.因为(2ma3k)24(b2a2k)(m2a4ka2b2)0,整理,得k.由消去y,得(b2a2k)x22a2mbk2xa2m2b2a2b20,因为2(2a2mbk2)24(
4、b2a2k)(a2m2b2a2b2)0,整理,得k(m21)所以kk.因为k1k2,所以,e2,所以e,故选C.8椭圆mx2ny21与直线y1x交于M,N两点,若原点O与线段MN的中点P连线的斜率为,则的值是_答案解析由消去y,得(mn)x22nxn10.则MN的中点P的坐标为(,)kOP.9已知椭圆1(ab0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为1,则椭圆方程为_答案x21解析椭圆1的右顶点为A(1,0),b1,焦点坐标为(0,c),过焦点且垂直于长轴的弦长为1,即12|x|2b,a2.则椭圆方程为x21.10.已知椭圆1(ab0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的
5、长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为_答案解析如图,因为四边形PAOB为正方形,且PA,PB为圆O的切线,所以OAP是等腰直角三角形,故ab.所以e.11(20xx福建)椭圆:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线y(xc)知其倾斜角为60,由题意知MF1F260,则MF2F130,F1MF290.故|MF1|c,|MF2|c.又|MF1|MF2|2a,(1)c2a.即e1.12设F1,F2分别是椭圆y21的左、右焦点,若P是该
6、椭圆上的一个动点,求取值范围答案2,1解析易知a2,b1,c,所以F1(,0),F2(,0)设P(x,y),则(x,y)(x,y)x2y23x213(3x28)因为x2,2,故当x0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值2;当x2,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1.所以的取值范围为2,113已知椭圆C:1(ab0)的一个顶点A(2,0),离心率为,直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当AMN的面积为时,求实数k的值答案(1)1(2)k1解析(1)a2,e,c,b.椭圆C:1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则由消y,得(12k2)x24k2x2k
7、240.直线yk(x1)恒过椭圆内一点(1,0),0恒成立由根与系数的关系,得x1x2,x1x2.SAMN1|y1y2|kx1kx2|.即7k42k250,解得k1.14(20xx安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆C:x2y24x2y0的圆心C.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程答案(1)1(2)x5y20或xy20解析(1)圆C方程化为(x2)2(y)26,圆心C(2,),半径r.设椭圆的方程为1(ab0),则所以所以所求的椭圆方程是1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(2,0),F2(2,0),|F
8、2C|r.F2在圆C内,故过F2没有圆C的切线设l的方程为yk(x2),即kxy2k0,点C(2,)到直线l的距离为d,由d,得.化简,得5k24k20,解得k或k.故l的方程为x5y20或xy20.15(20xx北京文)已知椭圆C:x22y24.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点,若点A在直线y2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值答案(1)e(2)2解析(1)由题意,椭圆C的标准方程为1,所以a24,b22,从而c2a2b22.因此a2,c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所以0,即tx02y00
9、,解得t.又x2y4,所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0b0)的左焦点为F1(1,0),且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y24x相切,求直线l的方程答案(1)y21(2)yx或yx解析(1)椭圆C1的左焦点为F1(1,0),c1.又点P(0,1)在曲线C1上,1,得b1,则a2b2c22.所以椭圆C1的方程为y21.(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为ykxm,由消去y,得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切,所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理,得2k2m210.由消去y,得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切,所以2(2km4)24k2m20,整理,得km1.综合,解得或所以直线l的方程为yx或yx.