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1、 1.4生活中的优化问题举例（2课时） 教学目标：1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2. 提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学过程： 一.创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们 利用导数，解决一些生活中的优化问题.二新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以 下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与
2、物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数 关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立 适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个 过程中，导数是一个有力的工具.利用导数解决优化问题的基本思路：三.典例分析例1.汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量 w （单位：L）与汽车的速度 v （单位：km/h）之间有一 定的关系，汽油的消耗量 w是汽车速度v的函数.根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的
3、速度越快，汽车的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率 （单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么G = W ,其中，w表示汽油消耗量（单位：L）,ss表示汽油行驶的路程（单位：km）.这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G的最小值的问题.通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h）之间有如图所示的函数关系 g二f V .从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题因此，我们
4、首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g (即每小时的汽油消耗量，单位：L/h )与汽车行驶的平均速度 V (单位:km/h )之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题.w解：因为G=W 二=_gs SVt这样，问题就转化为求 9的最小值从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的VV斜率进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小在此切点处速度约为90km/h 因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90km/h 从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即90 ,约为L 例2 .磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储
5、在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化 成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形 区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit )。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得 小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为 R的磁盘，它的存储区是半径介于 r与R之间的环形区域.(1) 是不是r越小，磁盘的存储量越大？(2) r为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？解：由
6、题意知：存储量 =磁道数x每磁道的比特数。设存储区的半径介于 r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道R r不存储任何信息，故磁道数最多可达丄丄。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大。所以，磁盘总存储m存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达f(r)4 x 小m2 二 r( R - r) mn(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求f (r)的最大值，计算f (r) =0 f (r R -2rmnR令 f (r) = 0,解得 r 二一2、【/ RR当 r -时，f (r) .0 ；当 r -时，f (r
7、) ： 0 .Rmn 4因此r 时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为2例3 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1) 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？(2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是20.8二r分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为 r，所以每瓶饮料的利润是y = f r =0. 2扌二r
8、- 082令 f r =0&（r22r） =0 解得当 r 0, 2 时，f r ：0 ;当 r 2, 6 时，f r 0 当半径r 2时，r 0它表示f r单调递增，即半径越大，禾U润越高； 当半径r ：2时，r ： 0它表示f r单调递减，即半径越大，利润越低.(1) 半径为2 cm时，利润最小，这时 f 2 ： 0 ,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶 子的成本，此时利润是负值.(2) 半径为6 cm时，利润最大.换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 有图像知：当r -3时，f 31=0，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本 恰好相等；当r 3
9、时，利润才为正值.当r 0, 2时，f r ：0 , f r为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm时，利润最小.说明:四课堂练习1用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边 比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.（高为1.2 m，最大容积1.8m3）5.课本练习五回顾总结1.利用导数解决优化问题的基本思路：2.解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通 过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决.在这个过程中，导数往往是一 个有利的工具。六.布置作业
