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1、高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。、全体实数组成的集合叫做实数集。记作Ro、邻域：设a与S是两个实数，且S0.满足不等式k-a1S的实数X的全体称为点a的6邻域，点a称为此邻域的中心，6称为此邻域的半径。2、函数、函数的定义：如果当变量X在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y
2、叫做函数值(或因变量)，变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母f、F表示y与x之间的对应法则即函数关系，它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间
3、的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。c):图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：3、函数的简单性态、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有1f(x)M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其
4、整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-8,+8)内是有界的.、函数的单调性：如果函数/(工)在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点xi及x2,当xix2时，有以西)/),则称函数人工)在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数f在区间（a,b）内随着x增大而减小，即：对于（a,b）内任意两点Xi及xZ,当Xi0,则对y0x=T）就是y=x2在要求x0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增（减）.、反函数的性质：在同一坐标平面内，y二J与工二的图形是关于直线y=x对称的例题：函数J二2与函数J=log2X互为反函数,则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直
5、线y=x对称的。如右图所示：5、复合函数复合函数的定义：若y是u的函数：J=J）,而u又是x的函数：M二卬，且砒工）的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数了=/8）及“二中（x）复合而成的函数，简称复合函数，记作y=JI。,其中u叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。|例题：函数Jh与函数u=2+x是不能复合成一个函数的。因为对于赵=2+1的定义域（-8,+8）中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2）,使y二近口出口都没有定义。6、初等函数、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函
6、数、对数函数、募函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：函数名函数的记号函数的图形函数的性质N = 1口且也了(口0，白 H1),二X a为任意实数这里只写出了正弦函数二州厦地工(反正弦函数)这里只写出了反正弦函数a):不论x为何值，y总为正数;b):当 x=0 时,y=1.下二1。2a):其图形总位于y轴右侧，并过(1,0)点b):当a1时，在区间(0,1)的值为 负；在区间(- ,+ 8)的值为正；在定义 域内单调增.这里只画出部分函数图形的一部分。y = sm x令 a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数；b):当m,n都是奇数时,y是奇函数;c):当m奇n
7、偶时,y在(-,0)无意义.a):正弦函数是以2元为周期的周期 函数b):正弦函数是奇函数且S1T1 X N时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列%!I的极限,或者称数列为收敛于a.记作：S/尸”或5（33）注：此定义中的正数e只有任意给定，不等式才能表达出%!与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数是有关的，它是随着的给定而选定的。、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，TTT111T（I11以使我们能理解它。数列%极限为a的一个几何解释：将常数a及数列ljrt?在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的邻域即开区间（a
8、-,a+）,如下图所示：一清二二不J阳*N+1xN+3xN+2x2x3x因不等式与不等式+E等价，故当nN时，所有的点k都落在开区间（a-e,a+e）内，而只有有限个（至多只有N个）在此区间以外。注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。Irr、数列的有界性：对于数列*,若存在着正数m,使得一切r都满足不等式r&m则称数rT列1是有界的，若正数M不存在，则可说数列3是无界的。定理：若数列人收敛,那末数列%一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列1,-1,1,-1,，（-1）n+1,是有界的，但它是发散的。9、函数的极限
9、前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取1-8内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限函数的极值有两种情况：a）:自变量无限增大；b）:自变量无限接近某一定点X%如果在这时，函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢？下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念！、函数的极限（分两种情况）a）:自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数y=/W,若对于任意给定的正数（不论其多么小），总存在着正数x,使得对于适合不等式卜卜的一切X,所对应的函数值）都满足不等式那末常数A就叫做函数）=/W当x-8时的极限,记作:下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下:数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列“无二/（附）与常数A,任给一正数0,总可找到一正整数N,对于nN的所有耳都满足黑0,总可找一切X,者11=私:y二了（工）与常数a,任给一正数|rly到一正数X,对于适合1人产人的满足3
