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1、温馨提示：模拟题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的 观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点25】空间直角坐标系、空间向量1.(2010马鞍山模拟)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD , PD=DC ,E是PC的中点.(I) 证明PA/评面BDE ;(U)求二面角B-DE -C的平面角的余弦值；(III)在棱PB上是否存在点F，使PB平面DEF ?证明你的结论.【解析(I)以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A (2, 0, 0), P (0, 0, 2), E
2、 (0, 1, 1), B (2, 2, 0),设n1(x，y，z)是平面bde的一个法向量，PA (2,0, 2),DE(0,1,1),DB(2,2,0)n1 DE 0 得 y z 0 取 y 1,得 n (1, 1,1).则由n D B 02x2y01.PA n 2 20, PA n ,又 PA 平面 BD E, PA /平面 BD E.(口)由(I)知n1(1, ED是平面BDE的一个法向量，又“2 DA。,。)是平面dec的一个法向量.设二面角B -DE -C的平面角为，由图可知cos cos n , n 112| n | | n|3 233故二面角B -DE -C的余弦值为3(IlD
3、 .PB (2,2, 2),DE(0,1,1).PB DE 0 220, PB DE .假设棱PB上存在点F，使PB J平面DEF，设PF*PB (01)则 PF (2,2 , 2 ),DFDP PF(2 ,2 ,2 2 ) ,中，底面ABCD是边长为2的正方形，为则点 (1，10)、Di(0，0q2). D i(1, 1,拒)又点 B (2, 2, 0) M (1,1,V7).BM(1, Z) 2 (2 2由 PF DF,3 (0,1)，此时 PF ：PB1即在棱PB上存在点F, PF 3 PB，使得PB宜面DEF 2. (2010南平模拟)如图所示的长方体ABC D AiBiCiDAC与B
4、D的交点，BBi展，M是线段BiDi的中点。(I)求证：BM 平面diac ；(U)求二面角8 AB1 C的大小。【解析】(I)建立如图所示的空间直角坐标系.连接Di ,3. (2010深圳模拟)如图,AB为圆。的直径，点E、F在圆。上，AB /EF，矩形ABCD和圆。所D 1BM，且D 1与BM不共线，.D1/BM又叩 平面D1AC , BM平面D1AC , .BM 平面D1AC.CBAB, CB *.CB平面ABB1,.BC( 2, 0, O)为平面ABB1的法向量.DB D AC.D 1( 1, 1；2)为平面AB1C的法向量.1 cos B C , D 12.BC与D1的夹角为60，即
5、二面角B AB1 C的大小为60 .在的平面互相垂直.已知AB2,EF 1 .(I)求证：平面DAF 平面CBF ;(U)求直线AB与平面CBF所成角的大小;（Ill）当AD的长为何值时，二面角D FE B的大小为60 ?【解析】（D平面ABCD平面 ABEF , CBAB ,平面ABCD 平面ABEF=AB ，CB平面ABEF .AF平面ABEFAF CB，又 AB为圆O的直径，AF BF ，AF平面CBF .AF平面ADF ，平面DAF 平面CBF（口）根据（D的证明，有AF 平面CBF， FB为AB在平面CBF上的射影，因此，ABF为直线AB与平面CBF所成的角.AB /EF ，四边形A
6、BEF为等腰梯形，过点F作FHAB ，交 AB 于 H .AB 2,EFAB EF则AH 2在 Rt AFB中，根据射影定理AF2 AH AB，得 AF1.sin ABFAFAB1， ABF2直线AB与平面CBF所成角的大小为30 .（IID设EF中点为G，以。为坐标原点，OA、OG、AD方向 分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）设AD t （t 0），则点D的坐标为（1, 0, t）在 Rt AFH 中， AH 2， AF 1, FH2点的坐标为），点E的坐标为（1 v3、2, 2 ,0),（3工）22-1 2nni2n n1 _0，即2 t4t2，解得t（负值舍去）3 12
7、因此，当AD. 3的长为3时，二面角D2FE B的大小为60 .4. （2010南宁模拟）如图,在梯形ABCD中，AB / CD ,AD DCABC 60，平面 ACFE 平面 ABCD（1求证：BC平面ACFE ；（2当EM为何值时,AM /平面BDF ?证明你的结论;（3求二面角BEF D的平面角的余弦值.CBa ,，四边形ACFE是矩形,AEADDCCBa, ABC60 四边形ABCD且DCADAC30 ,DCB 120ACBDCBDCA90 AC BC又平面ACFE平面ABCD，交线为AC，中，【解析】（D在梯形ABCDAB /D ，BC 平面ACFE（口）由（D知，以点C为原点，CA
8、 ,CB ,CF所在直线为坐标轴是等腰梯形，建立空间直角坐标系，则 C (0,0,0)，B(0,a,0)，AH3a,0,0)，D(3a21 a,0)，2F (0,0,a)，E 33a,0,a)AM 平面BDFAM /平面 BDFAM 与FB、FD共面，也等价于存在实数mn，使 AM m FB n FD设 EM tEF (0 t 1).EF ( V3a,0,0) , EM(v；3at,0,0)AMAE EM ( V3at,0,a)a, a), 2FB (0,a,从而要使得:(V3at,0, a)(0, a, a) a, a)成立, 2v 3 atmaan2 an ，解得t2amanEMa 时，A
9、M /平面 BDF3(III)由知，以点C为原点，CA ,CB ,CF所在直线为坐标轴,13 aD (,2 a,0) 2,F (0,0,a), E (t3a,0,a)过 D 作 DG EF垂足为G .令FGFE(侦 3a,0,0)&3a a,GD,0O),CG CFFGH3a,0,a)D G C GCDW3a3 1、a, a, a)22由 DGEF得，DG EF 0,1-DG2BC AC ,AC/EF ,BC EF , BF EF二面角BEFD的大小就是向量仔。与向量FB所夹的角(0，2建立空间直角坐标系，则C (0,0,0), B (0,a,0) , AH3a,0,0),ADa, a),即
10、GD (0, a,a)FB (0,a, a)cos GD , FBGD FB41CGDFB10即二面角B EF D的平面角的余弦值为亓.5. （2010汉沽模拟）如图所示的几何体ABCDE中,DA平面EAB ,CB /DA ,EA DA AB 2CB，EA AB，M 是 EC 的中点.（1）求证 :DM EB ；（口）求二面角MBD A的余弦值.【解析】分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，设CB a ,贝U A (0,0,0),E (2a,0,0),B (0,2a,0),C (0,2a,a),D (0,0,2a),所以 M (a, a=).2(
11、I)证：DM(a,a,-3a),EB( 2a,2a,0)2DM EB a (-2a) a 2a 0 0DM EB，即 DMEB .（ID设平面MBD的法向量为n由nDB ,n DM得*n*DB 2ay-2az0y z33nDMax ay -；az 0x y z取z2得平面MBD的一非零法向量为n（1,2,2）(0,2a,-2i)(x, y, z) ,DB0又平面BDA的法向量为n （1,0,0）cos n,n1 0 ,1v12 2 2 2 2 过 12 02 023.二面角MBDA的余弦值为1 .36. （2010聊城模拟）如图，在四棱台ABCD -A1B1C 1D 中, 下底ABCD是边长为2的正方形，上底ARQW是边长为1 的正方形，侧棱DD 工平面ABCD , DD2。（1）求证：BRA平面DC ;x(x, y, z)为平面AB 1 D 的法向量1, z 1.n(1, 1,1)coscos m ,nn, nmm nnI m ml |卜 |二面角B AD 1 C的余弦值为3,(2) 求二面角B1AD 1C的余弦值。【解析】以D为原点，以DA、DC、DD 1所在直线分别为
