模态分析的技术及应用

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1、一、模态测试概述结构在动力载荷作用下，总要产生一定的振动响应.而结构的振动， 常常是结构损坏、环境恶化，设备的精度或可靠性降低等工程事故的主要原 因。因此，研究结构的动力特性和动力强度，已日益成为结构设计的重要课 题.结构的动力特性主要取决于它的各阶固有频率、主振型和阻尼比 等。这些参数也就是所谓的模态参数。如果已经有了结构的实物图或设计图 纸，并掌握所有材料的力学性能数据，那么原则上可以用有限元分析等数值 计算方法求出结构的模态参数.然而，由于诸方面的原因，例如：非线性因 素，材料的不均匀性，阻尼机理的复杂性，在加上构件与构件、整机与基础 的连接刚度难以确定等，使有限元计算的准确性(甚至于可

2、能性)受到限制。在本世纪六、七十年代发展起来的现代模态试验分析技术弥补了有 限元分析技术的某些不足。模态试验分析与有限元分析的相互结合及相互补 充，在结构优化设计和设备诊断等许多方面，都取得良好的成效。它们已经 在航天、航空、车辆、船舶、机床、建筑机械、电器设备等工业部门得到极 为广泛的应用。若干年来，众多学者提出的各种模态参数识别方法，大体上可分为 时域法和频域法两类。时域法是一种从时域响应数据中直接识别模态参数的 方法,频域法则是在测量频响函数基础上，利用最小二乘估计萃取模态参数 的方法，也有人称之为机械导纳法或传递函数法。本节将着重讨论频域法， 它是目前公认的比较成熟和有效的方法。二、传

3、递函数和频响函数1。传递函数和频响函数在电路或控制系统理论中，将输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉 普拉斯变换之比定义为传递函数。如果把机械系统的激振力泡看作输入量, 把振动的位移响应似看作输出量，则机械系统的传递函数定义为(454)其中，为复变量，称为复频率，其实部和虚部常用符号户和m表示,即。拉普拉斯变换的定义为响=K附卜5侦戏础=g（w=J，伽项*（4-55）拉普拉斯变换的主要性质有我1 &十沔（圳=畋）十E花（圳、Ac） = cAa$）L 泌）=叫-或Cl）那浪牛物（4-56）根据以上性质，对单自由度振动系统的运动微分方程进行拉普拉斯 变换，可得诚日咬（$） - 5（U）-汇（口） +

4、c江）-汇（口）+ 侑）=刊矽（4-57）设初始位移式。）和初始速度戒。）均为零，则有（阳尸 +C5+ k）X）=俨（$）（458）由此可以得出单自由度系统的传递函数为%）昨） 19（f）启+ cs + k（459）令方程（4-58）的特征多项式等于零，即刑尸+而+任=0（4-60）在小阻尼情况下，由式（460）求得的一对共轭复根为p =匚r十项却4 （4-61）尹和胃.称为该系统的复频率,其实部 I牌 既是系统的衰减指数，虚部% = -=加;_ K倾 2依为系统的阻尼固有频率.传递函数式（459）可表示为（4-62）式中1F=（463）称为留数。由式（4-62）可知，当=户或尹.时，典）趋于

5、无限大，故也称复_ * 频率尸和为极点。前面已指出，线性系统的输出双与输入/的傅立叶变换之比，就是系统的频响函数，即疗w （圳HW=n7wi（464）在一定前提条件下，也可以从信号的拉普拉斯变换式中，以置换日而求得它的傅立叶变换，因而有SI（巩北（465）例如，对单自由度振动系统，将其传递函数式（4-55）的变量占用）扪置换，得到它的频响函数为）=一2应一舟般+ JtdC（4-66）这与前面简谐激励导出的位移导纳完全相同。由于频响函数和传递 函数不仅适用于简谐激励,而且适用于任意激励，可将其理解为广义上的机 械导纳.2。传递函数矩阵和频响函数矩阵多自由度系统在任意激励下的运动方程为ffix +

6、fcc = J1擀（467）对方程作拉普拉斯变换，并设所有坐标的初始位移和初始速度均为零，则有（4-68）其中，方和配）分别为理）和的拉普拉斯变换。令Z（s） =rt + ft（469）（4-70）则方程（4-68）可缩减为Zg（） = FB）（4-71）或邳）=HF槌）（4-72）典）称为系统的阻抗矩阵或特征矩阵，丑（）称为系统的传递函数矩阵，对于M个自由度系统，均为方阵.处）的第I行第皆列元素驾版）等于 系统在坐标的响应函数&与#坐标激励函数外何拉普拉斯变换之比，H 珥与（加 X矽五面(473)如取，则拉普拉斯变换转化为傅立叶变换，传递函数矩阵转化 为频响函数矩阵S），这时可得到下列定义式

7、及关系式:(474)H（舟）=次心）-1祯3）(475)（476）况）畛）弓S）(4-77)如前所述，由傅立叶变换给出的频响函数与根据简谐激励得到的导 纳函数是完全一致的。因此，频响函数矩阵也称为导纳函数矩阵。频响函数矩阵3）中对角线元素、时 顶州为原点导纳或驱动点导纳;丑5）的非对角线元素助，5，为跨点导纳或传递导纳.本节讨论的模态试验分析，就是建立在一组频响函数测量基础上的 模态参数识别技术。关于传递函数矩阵和频响函数矩阵的性质，下文还要进 一步讨论.三、实模态的频响函数和模态参数1。实模态的模态参数由前节分析，一个村自由度的线性系统，有个无阻尼固有频率 =1上,5和相应的村个模态振型&

8、= 1牝机-7就馈-抑。N个模态振型可综合为一个模态振 型矩阵rtl站蝠l=UU-W=加她痴_An 蝙枷面_模态振型对质量矩阵用和刚度矩阵片满足下面形式的加权正交关系:（4-78）Ar J = r（479）并且有Mr（480）和分别称为模态质量和模态刚度。在比例粘性阻尼情况下，阻尼矩阵。=皿+廓为常数），有 下面的正交关系：. U（481）C，称为模态阻力系数。有时用模态衰减系数顼，或模态阻尼比*表征系统的阻尼特性，有9 Acrr =京2M,（4-82）（4-83）系统第尸阶阻尼固有频率*与无阻尼固有频率，的关系为由* =- 仃：=由，Jl（4-84） 通常称吓 为系统的模态频率。*#、此、M

9、.、（或、*）统称为系统的模态参数 我们说，一个自由度的机械系统，有村个模态，就是指它有组模态参数。 下标为，表示模态的阶次。上述分析中，这些模态参数全都是实数，故称为 实模态。2。实模态情况下的频响函数自由度系统的频响函数可由其运动方程按简谐激励或任意激励的傅立叶变换式导出，现取前者，即取照）=忌函代入式（4-67），可得ffc - co3m+ JoxjX = F（485）通过模态分析方法，即引进一模态坐标向量q =整一jc? JC = Pq（486）显然有戒顼矛且Q=X X=（487）将式（487）代入式（485），并左乘，根据正交关系式（4-78）、（4-79）、（4-81），可得到N个

10、解耦的方程如9）目产歹（牛矿网）（4-88）其中（4-89）这里，或为模态坐标，办为响应的复数振幅户为对应第厂阶模态的激振力 分量的复数力幅。或与耳的比值，称为系统的第尸阶模态导纳，或第I阶模态频响函数，用脂5表示，即（490）以模态导纳为对角线元素的对角矩阵叩）称为模态导纳矩阵，即（4-91）由式（488）可知，Q=HtP=HrF（492） 前节给出X = H）F（493）可见，导纳函数矩阵，即频响函数矩阵丑3），与模态导纳矩阵乩之间 满足下面关系：才3 =掰3仲丁(4-94)也即H0) = 严(496)或= 遍外点F-1（4-97）可见，系统的任一频响函数均可表示为其各阶模态导纳的线性和。

11、四、复模态的传递函数和模态参数上一节讨论的实模态，适用于无阻尼系统或比例粘性阻尼系统。对 于更一般的非比例粘性阻尼系统，宜采用下面的复模态理论进行研究。1。复频率、复振型上节曾给出M自由度系统运动方程的拉普拉斯变换式对自由振动情况，有奕）典）=1（498）其特征方程式怀的展开式是复变量，的2次多项式。令相卜气可求得方程（4 87）的2打个特征根。在小阻尼情况下，它们破对共轭复 根，即Pr = -jdr（499）* 将#，、#，代入方程（4-97），可求得相应的?个特征向量乳、务，它们满足方程也=6 矣用=0（4100）t乳与弊r的对应元素均为共轭复数。*P,和尹，称为系统的复频率。实际上它包含

12、了有关阻尼的参数口，（第严阶模态衰减指数）和有关频率的参数（第严阶模态频率）。0L、0*，称为系统的复振型向量或复模态向量。实振型与复振 型的差别在于:前者意味着系统的所有质点在振动过程中保持同相或反向； 后者表明各质点在振动过程中形成复杂相位关系.2。复模态情况下的模态质量、模态刚度和模态阻力系数在复模态情况下，不可以简单的套用实模态关系式（4-78）、（4-79） 和（481）求得系统的模态质量、模态刚度和模态阻力系数。实际上复振 型之间的正交关系与实振型之间的正交关系并不相同，先推证如下：圳+卒皿）加。（4101）醐+月I上）戒邓（4102）式（4-101）左乘WE，注意到醇、花为对称矩

13、阵可得妍9；圳+舟产+月泌，邓（4-103）州成迥+冉。+助例（4-104）两式相减，得# J0E 电 + &） f 况或=。（4105）时，式（4-105）成立必有（A +必）-泌；曲F + 壮伽=。（4-106）式（4103）乘以孔，式（4-104 ）乘以西后，两式再相减当时，约去公因子3一乩），可得/wMW伽-麻戒邓（4-107）式（4-106）和（4-107）即是复振型的两个正交关系式。*如果让两个正交关系式中，凡等于目，则有丹+出+#；=-皿，勺，=3；+以=，由此可得，温_妒; A戒，（4108）M 膈乩（4109）因此，在复模态情况下我们可以按下面的关系定义模态质量，、模态刚度

14、委，和模态阻力系数，：株=&脆佻（4-110）虬=矿*伽，（4-111）G = 行刷,（4-112）这样得到的羽，、都是实数，并且符合下面关系：(4113)（4114）五、模态分析在工程中的应用作为振动工程理论的一个重要分支，模态分析或实验模态分析为各 种产品的结构设计和性能评估提供了一个强有力的工具，其可靠的实验结果 往往作为产品性能评估的有效标准，而围绕其结果开展的各种动态设计方法 更使模态分析成为结构设计的重要基础。特别是计算机技术和各种计算方法 （如FEM）的发展，为模态分析的应用创造了更加广阔的环境。模态分析的应用可分为以下四类。1。模态分析在结构性能评价中的直接应用根据模态分析的结果，即模态频率、模态振型、模态阻尼等模态参 数，对被测结构进行直接的动态性能评估。对一般结构，要求各阶模态原理 工作频率，或工作频率不落在某阶模态的半功率带宽内;对结构振动贡献较 大的振型，应使其不影响结构正常工作。这是模态分析的直接应用，已成为 工程界的基