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1、“探求思路、图体向导”术对题设条件不够明显的数学问题求解，注意相关的图形，巧用图形作向导，可打破思维瓶颈，多途径找到突破方法尤其是对一些以函数、三角函数、不等式等形式给出的命题，其本身虽不带有图形，但可以设法构造相应的辅助图形进行分析，将代数问题转化为几何问题来解力争做到有图用图，无图想图，补形改图，充分运用其几何特征的直观性来启迪思维，从而较快地获得解题的途径这就是“用图探路术”例1已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0)B.C(0,1) D(0，)解析B函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x12ax.函数f(x)x(ln xax)有两个极
2、值点，等价于ln x12ax0在(0，)上有两个不相等的实数根，令h(x)ln x，g(x)2ax1，则函数h(x)ln x的图象与函数g(x)2ax1的图象在(0，)上有两个不同的交点设函数h(x)ln x与函数g(x)2ax1的图象相切于点A(m，ln m)，其中m0，函数g(x)的图象在点A处的切线的斜率为k2a，函数h(x)的图象在点A处的切线的斜率为k，2a.直线g(x)2ax1过点(0，1)，k，.解得m1，当函数h(x)与g(x)的图象相切时，a.又两函数图象有两个交点，a.活学活用1(2019杭州二模)设a，b，c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为()A2 B.
3、2C1 D1解析：D由于(ac)(bc)(ab)c1，因此等价于求(ab)c的最大值，这个最大值只有当向量ab与向量c同向共线时取得由于ab0，故ab，如图所示，|ab|，|c|1.当0时，(ab)c取得最大值且最大值为.故所求的最小值为1.“解题常招，设参换元”术在解答数学问题时，我们常把某个代数式看成一个新的未知数，或将某些变元用另一参变量的表达式来替换，以便将所求的式子变形，优化思考对象，让原来不醒目的条件，或隐含的信息显露出来，促使问题的实质明朗化，使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路这种通过换元改变式子形式来变换研究对象，将问题移
4、至新对象的知识背景中去探究解题思路的做法，就是“设参换元术”，常见的换元法：三角代换、比值代换、整体代换等例2已知椭圆C方程为y21，且直线l：ykxm与圆O：x2y21相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求OMN面积的最大值解析圆O的圆心为坐标原点，半径r1，由直线l：ykxm，即kxym0与圆O：x2y21相切，得1，故有m21k2.由消去y得(4k21)x28kmx4m240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|x1x2|2(x1x2)24x1x224.将代入，得|x1x2|2，故|x1x2|.所以|MN|x1x2|.故OMN的面积S|MN|1.令t4k2
5、1(t1)，则k2，代入上式，得S2 ，所以当t3，即4k213，解得k时，S取得最大值，且最大值为 1.活学活用2(1)函数f(x)sin xcos x2sin xcos x的最小值是_解析：f(x)sin xcos x2sin xcos x(sin xcos x)2sin xcos x1，令sin xcos xt，则tsin，x，x，0t，原函数可化为g(t)t2t1(0t)函数g(t)t2t1的图象开口向上，其对称轴的方程为t，当0t时，g(t)单调递增当t0时，g(t)取得最小值1.答案：1(2)已知a0，b0，a2b2ab3，则2ab的最大值是_解析：令t2ab(t0)，则bt2a，
6、代入a2b2ab3，得7a25att230，由关于a的一元二次方程有解得，25t228(t23)0，即t228，所以0t2，当且仅当即时取等号，故2ab的最大值是2.答案：2“巧设变量，引参搭桥”术当题目条件中的已知量或变量无法直接与要求的结论之间建立关系时，可考虑引入一些中间变量，即参数(可以是角度、线段、斜率及点的坐标等)，来沟通条件与结论之间的联系，这是一种非常重要的解题思想方法，即“引参搭桥”术例3已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若直线l过点，延长线
7、段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解析(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，则kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得直线OM的方程为yx.设点P的横坐标为xp.由得x，即xp .将代入l的方程得b，因此xm.当且仅当线段AB与线段OP互相平分，
8、即xP2xM时，四边形OAPB为平行四边形于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形活学活用3已知ABC为等腰三角形，ABAC，BD是其腰AC的中线，且BD3，求ABC面积的最大值解析：设AB2x，BAC，(0，)，则ADx，故SABC2x2xsin 2x2sin ，在ABD中，BD2AB2AD22ABADcos ，解得x2，故SABC2x2sin ，(0，)，令f()，(0，)，则f()，令cos 0，0(0，)，故当(0，0)时，f()0，当(0，)时，f()0，故f()在0处取到极大值，也是最大值，故f()max6，故A
9、BC面积的最大值为6.答案：6“变量交错、分离协调”术对多个变量交叉混合布局的数学问题，在求解时往往需要分离变量，即将混为一团的变量分开，使之各自成为一个小整体，便于分别分析各自所具有的特征，研究它们之间的差异，从中发现解题的思路这种通过对变量的分离来协调变量间的关系，理顺解题思路进行各个击破的解题策略，就是“分离变量”的战术例4设函数f(x)lg，其中aR，n是任意给定的正整数，且n2，如果当x(，1时，f(x)有意义，求a的取值范围解析由题意有12x(n1)xnxa0，从而a.因为n2，而yx(k1,2，n1)是x(，1上的减函数，所以，故a.活学活用4设函数g(x)xb对任意a，都有g(
10、x)10在x上恒成立，求实数b的取值范围解析：变量分离b10.令h(x)x，则h(x)1，得x(极小值点)，x(极大值点)，故h(x)在(，)上单调递增，在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增由此可知，h(x)在上的最大值为h与h(1)中的较大者又hh(1)3，a，hh(1)，h(x)maxh4a，所以，只需b10恒成立即可，又10，从而得b的取值范围是.答案：“固势推导，反客为主”术我们解答数学题时通常把注意力集中在主变元上，这是理所当然的事当思维受阻时，若注重考查命题的求解趋势，依从条件与结论的内在联系变换思考方向，视其参变元为主变元进行研究、推导，也能得到解决问题
11、的途径，有时还能获得问题的巧解这种做法就是“反客为主”的战术例5若f(x)ax22(2a1)x4a7，aN*，若f(x)至少有一个整数根，则a的取值为_解析依题意可知，当f(x)0时，有2x7a(x2)2，显然，当x2时，方程不成立故有a(x2)，于是，当a为正整数时，则必有2x7(x2)2，且xZ，x2，即x必须满足条件：3x1(xZ，x2)由此可知，x只能在3，1,0,1中取值将3，1,0,1分别代入中，得知：仅当x3，x1和x1时能保证a为正整数，且此时有a1和a5.所以，当a1和a5时，原方程至少有一个整数根答案1或5活学活用5对于满足|log2p|2的所有实数p，使x2px12xp恒
12、成立的x的取值范围为_解析：由|log2p|2，得p4.由题意可设f(p)(x1)p(x22x1)0，易知f(p)是p的一次函数，故要使f(p)0在p上恒成立，则必须有x1，且即x1，且解得且x1，由此可得x3或x1.所以满足题意的实数x的取值范围是x3或x1.答案：(，3(1，)“换位推理，声东击西”术对有些命题在直接求解常感到困难或根本难以从条件入手，这时可避开正面强攻，从结论的对立面入手，或考查与其相关的另一问题，或反例，从中也可以找到解决问题的途径，有时甚至还能获得最佳的解法，这就是“声东击西”术，常见的基本方式有反证法、补集法、反例法等例6若拋物线yx2上的所有弦都不能被直线yk(x
13、3)垂直平分，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析D设拋物线yx2上两点A(x1，x)，B(x2，x)关于直线yk(x3)对称，AB的中点为P(x0，y0)，则x0，y0.由题设知，所以.又AB的中点P(x0，y0)在直线yk(x3)上，所以k，所以中点P.由于点P在yx2的区域内，则2，整理得(2k1)(6k22k1)0，解得k.因此当k时，拋物线yx2上存在两点关于直线yk(x3)对称，于是当k时，拋物线yx2上不存在两点关于直线yk(x3)对称所以实数k的取值范围为.故选D.活学活用6已知函数f(x)ax2xln x在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为_解析：f(x)2ax1.若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，则f(x)0在(1,2)上恒成立，所以2ax10，得a.(*)令t，因为x(1,2)，所以t.设h(t)
