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1、向量及其线性运算向量及其线性运算2351423514平面解析几何：平面解析几何： 点点 有序数对（有序数对（a a，b b） 平面曲线平面曲线 第八章第八章第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间解析几何：空间解析几何：平面解析几何：平面解析几何： 点点 有序数对（有序数对（a a，b b） 平面曲线平面曲线 22. 数乘的运算规律数乘的运算规律:(1) 结合律:(2) 分配律:1. 定义定义 实数与向量的乘积为一个向量.记为 模为( 0)(二二)数与向量的乘法数与向量的乘法(简称数乘运算简称数乘运算)实质实质“伸缩伸缩”9考虑
2、考虑: 向量 与 的关系？结论：规定 当则定理定理: 两个非零向量 平行存在唯一实数，使得(方向相同或相反)10例例1 在平行四边形ABCD中, 设AB=, AD =试用表示向量MA,MB,MC和MD.解:= AC = 2MC有MC = 又 = BD = 2MD有MD = MB = MD MA = MC DABCM11（三）空间直角坐标系（三）空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系,称称 坐标系，坐标系，或或坐标系坐标系.点点O叫做坐标原点叫做坐标原点(或原点或原点)向量及其线性运算向量及其线性运算以 分别表示沿x, y, z轴正向的单位向量, 称为基本单位向量. 三个坐标轴的三个坐标轴的
3、正正方向符合方向符合右手规则右手规则轴轴轴轴轴轴12由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫xoy面. yoz面、zox面, zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII它们将空间分成八个卦限.1.坐标面坐标面132.空间向量空间向量(点点)的坐标表示的坐标表示 OM = OP + PN +NM= OP + OQ + OR= xi + yj + zkRQPOxyzM(1)给定点M，对应有向量OM(2) 设OP=xi，OQ=yj，OR=zk，定义: 有序数x, y, z称为 OM 的坐标，记为OM=（x,y,z） 也称为 点M的坐标，记为M(x,y,z)空间的点空间的点有序数组有
4、序数组（坐标分解式）（坐标分解式）14特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点15点点M(2, - -3, 1)分别关于分别关于坐标原点坐标原点、 xOy面面、 y 轴轴的对称点是的对称点是( )(A) (- -2, 3, - -1); (B) (- -2, - -3, - -1);(C) (2, -3-3, - -1); (D) (- -2, 3, 1).16向量及其线性运算向量及其线性运算（四）（四）利用坐标作向量的利用坐标作向量的线性运算线性运算（坐标分解式）（坐标分解式）17由由按坐标表示式即为按坐标表示式即为: 当分母有一个为零理解为分子也为零当分母
5、有一个为零理解为分子也为零.注注向量及其线性运算向量及其线性运算也即向量也即向量 与与 对应的坐标成比例对应的坐标成比例: 设向量设向量 定理定理存在唯一的实数存在唯一的实数 18解解 设设为直线上的点为直线上的点,oxyzAB例例3 已知两点已知两点以及实数以及实数在直线在直线AB上求点上求点M, 使使同理同理,得得特别当特别当时，时，M点坐标点坐标19五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与 OM = OP + PN +NM20例例4 证明以M1(4, 3, 1), M2(
6、7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.21例例5 在z轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点.解: 设该点为M(0, 0, z)由题设 |MA| = |MB|.即:解得:所求点为 M (0, 0, )22设有两非零向量 任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作2.方向角与方向余弦方向角与方向余
7、弦23方向余弦的性质:24例例7 已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角. 解: M1 M2 = (1, 1, )|M1 M2 |=25解解: 已知角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 例8设点 A 位于第一卦限,26空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影过点过点A作轴作轴u的垂直平面的垂直平面,即为点即为点A在轴在轴u上上的的投影投影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影轴轴u称为投影轴称为投影轴.已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B
8、在轴在轴u上的投影分别为上的投影分别为那么轴那么轴u上的有向线段上的有向线段的值的值, 称为向量在轴称为向量在轴u上的上的投影投影.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影27Projection在轴在轴u上的上的向量向量轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：向量向量在轴在轴u上的上的投影投影记为记为投影性质投影性质1 1投影等于向量的模乘以投影等于向量的模乘以向量及其线性运算向量及其线性运算投影有正、投影有正、注注负之分负之分;模只为正值模只为正值.28（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和在该轴上
9、的投影之和.向量及其线性运算向量及其线性运算投影性质投影性质2 2投影性质投影性质3 329解解向量及其线性运算向量及其线性运算求向量求向量例例x轴上的轴上的投影及在投影及在y轴上的分向量轴上的分向量.在在x轴上的投影为轴上的投影为在在y轴上的分向量为轴上的分向量为30向量及其线性运算向量及其线性运算六、小结六、小结向量的概念向量的概念向量的线性运算向量的线性运算（注意（注意:与数量的区别与记法）与数量的区别与记法）(平行四边形法则平行四边形法则, 三角形法则三角形法则, 注意数乘后的注意数乘后的方向方向)空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式(注意它与平面直角坐标
10、系的注意它与平面直角坐标系的区别区别)(点、坐标轴、坐标面、卦限点、坐标轴、坐标面、卦限)31向量在轴上的投影与投影性质向量在轴上的投影与投影性质.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向角向量的模与方向角.(注意分向量与坐标的注意分向量与坐标的区别区别)向量及其线性运算向量及其线性运算利用坐标作向量的利用坐标作向量的线性运算线性运算. .32思考题思考题1向量及其线性运算向量及其线性运算 解解对角线的长为对角线的长为求以向量求以向量为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度.平行四边形的对角线的长度各为平行四边形的对角线的长度各为33 B 已知平行四边形的三个顶点已知平行四边形的三个顶点 则与顶点则与顶点B相对的第四个顶点相对的第四个顶点D为为 ( ).提示提示 : 思考题思考题2向量及其线性运算向量及其线性运算34DBCAO思考题思考题2解答解答向量及其线性运算向量及其线性运算35结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！36
