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1、带电粒子在有界磁场中的运动分类解析作者：席晓阳来源：中学教学参考中旬2013年第1期湖北宜昌市三峡高中（443100）席晓阳纵观近几年的高考理综物理试题，带电粒子在有界磁场中的运动年年都考，备受高考命题 者的青睐，而且我们注意到在新课标全国卷中，带电粒子在有界磁场中的运动往往是以压轴题 的形式出现。这充分说明带电粒子在有界磁场中的运动问题是高考的重点和热点，也是难点， 所以无论是高考第一轮复习还是第二轮复习，这部分内容都应该作为重点复习。带电粒子在有 界磁场中的运动问题综合性较强，解决这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动知识， 又要用到数学中的平面几何、三角函数和解析几何知识。而且有时候
2、又牵涉到临界情况，思维 含量高，难度大。笔者认为要处理好这部分内容的复习教学，除了要搞好基础知识的复习外 （比如圆心的确定，准确、清晰地画出运动轨迹，半径和时间的确定等），更要注意归纳总结 带电粒子在有界磁场中运动的常见情形，针对有界磁场边界的特点和涉及的临界情况，探究并 总结出一些规律性的东西。本文就直线边界磁场和圆形边界磁场分析探究一些常见的运动情形 归纳总结相应的特点和规律，以供同仁们参考。一、带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动1.单平面边界磁场（1）带电粒子进出磁场具有对称性。如图1所示，直线MN右侧存在垂直纸面向里的匀强 磁场。带电粒子由边界上P点从图示方向进入磁场，从关于边界对称的
3、Q点射出，即进入和射 出时速度方向与边界的夹角相同。（2）动态问题：粒子速度大小一定，但从P点进入磁场的速度方向可任意变化，这时粒子 在磁场中的运动轨迹、运动时间和射出磁场的位置随之变化，但轨迹（圆弧）的半径不变，所 有可能轨迹的圆心分布在以P点为圆心、半径为r的半圆上。若带电粒子从P点射入时速度方 向一定而大小变化时，粒子在磁场中的运动轨迹、轨迹半径和射出磁场的位置随之变化，但偏 转方向和运动时间不变。【例1】（2011 浙江卷）利用如图2所示装置，可以选择一定速度范围内的带电粒子。 图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为 2d和d的缝，两缝近端
4、相距为L。一群质量为m、电荷量为q,具有不同速度的粒子从宽度为 2d的缝垂直于板MN进入磁场，关于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是（）。A.粒子带正电C. 保持d和L不变，增大B,射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D. 保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大蟲制 1.i Ms片 1a鱗岳帕縄酬碓册1-I! -i 吉用和齐可点评：本题难度较小，粒子运动轨迹的圆心在垂直于初速度或末速度方向的直线上，轨迹是一个半圆，通过推导得出粒子的最大速度与最小速度之差与L无关。【例2】（2004 广东卷18）如图3,真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里, 磁感应强度
5、的大小B=0.60T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行，在距ab的距 离l=16cm处，有一个点状的a放射源S,它向各个方向发射a粒子，a粒子的速度都是 v=3.0X106m/s，已知a粒子的电荷与质量之比qm=5.0X105C/kg，现只考虑在图纸平面中运 动的a粒子，求ab上被a粒子打中的区域的长度。代入数据解得：R=0.1m = 10cm，可见 RV1V2R。因朝不同方向发射的a粒子的圆轨迹都经过S,由此可知，某一圆轨迹在图4中N点左侧 与 ab 相切，则此切点 P1 就是 a 粒子能打中的左侧最远点，由图中几何关系得閘1 fff fl* 耳 F徃SM刊翹i】猟删【忡细削船
6、討鬭他屈緘的蹄L編防 /WT i：iuamiAM Xfl+wr.澜点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的速度大小，其对应的轨迹半径也就确定了。 但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹，导致粒子的出射点位置变化。 在处理这类问题时重点是画出临界粒子运动的轨迹图（对应的临界状态的速度方向），再利用 轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围。2.有双平行平面边界磁场的问题这类问题和单平面边界磁场类似，只不过考虑要全面一些，不能只考虑一边。有三点需要 注意：（1）刚好穿出（或刚好穿不出）磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界 相切；（2）当速度v定时，弧长（或弦长）越长，圆周角
7、越大，则带电粒子在有界磁场中运动 的时间越长；（3）当v变化时，圆周角大，运动时间长。【例3】（2010新课标全国卷25）如图5所示，在0WxWa、0WyWa/2范围内有垂直于 xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为Bo坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大 量质量为m、电荷量为q的正粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正 方向的夹角分布在090范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从 发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求 最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：1）速度的大小；（2）速度方向与y轴正方向夹
8、角的正弦。当a/2VRVa时，如图6所示，在磁场中运动时间最长的粒子其轨迹是圆心为C的 圆弧，圆弧与磁场的上边界相切，该粒子在磁场运动的时间为t=T/4，得Z0CA=n/2M盟罷高1曲曲所端：的髯髓用昭 &Lll/l 14间女闪勺小山jiRxcriii：1 lH叩輛一 F 黒E 耳| 孑Jl kinI 曲III加ii 灿 K:秒1试怜E 纠警即点评：本题考查考生运用带电粒子在有界磁场中的运动规律综合分析解决问题的能力，对考生的能力要求较高。解决问题的关键是要明白最后离开磁场的粒子也是在磁场中运动 时间最长的粒子，并确定其运动轨迹。试题中“从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰 好为粒子在磁场
9、中做圆周运动周期的四分之一”的叙述给出了在磁场中运动时间最长的粒子的 运动时间。经过分析，粒子运动的半径满足题给条件且是四分之一圆弧的轨迹，只能是与磁场 上边界相切的一段圆弧，画出其运动轨迹，就可以利用图中的几何关系求解。二、带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动1.带电粒子入射方向沿径向对准圆形磁场圆心如图7所示，磁场圆半径为R,粒子轨迹圆半径为r,带电粒子从P点对准磁场圆心0射入, 由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。所以在圆形 匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子，一定沿径向射出。事实上，这也体现了对 称性，入射点P、出射点Q、磁场圆圆心O和轨迹圆
10、圆心O1构成一四边形，关于010对称。【例4】（2006 天津卷24）在以坐标原点0为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁 感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图8所示。一个不计重力的带电粒子 从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿一x方向射入磁场，它恰好在磁场边界C点处沿+ y方 向飞出。（1）判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷 q/m；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B,该粒子仍从A处 以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60角，求磁感应强 度B多大？此粒子在磁场中运动的时间t是多少？解析：带电粒子指向圆心射入圆形有界磁场
11、，将背离圆心射出，作出运动轨迹，再进行求 解。，I UU豺子制榔ril 朋Ml町勺.個蹴干常 m 电r *riu u 事豪* 社-F曲 A .ft.QtA.lll( .CX 出+JC,* 七、：Hi I . Hl| t V. -1 r F- A r. J- T-ifl町厂勺供鬥】世陆盘fii-i- f t飞旳陋为 和戏柑仇丢性r i1 fh.c vi X- :rpll i.-ftj r. *.曲旳 周左Ml* r-H i-i iil.ilJ，建，倉.眄门匸J - flK r伝曲叫小th HM点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小和方向，但由于有界磁场发 生改变（包括磁感应强度的
12、大小或方向），从而改变了该粒子在有界磁场中运动的轨迹，导致 粒子的出射点变化。在处理这类问题时，应画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，再利用轨 迹半径与几何关系确定对应的出射点。2.带电粒子入射方向偏离圆形磁场圆心带电粒子从P点射入，方向发生变化时，则轨迹圆心的位置随之变化。处理这类问题时一 定要分清磁场圆和轨迹圆，区分轨迹圆心和磁场圆心。1）当粒子沿图10所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、方向偏转角最大。（2）由图10看出，在轨迹半径和运动方向偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁 场圆，即为以PQ为直径的圆。（3）如图11所示，由几何知识很容易证明当r=mv/qB=R时，相同带电
13、粒子从P点沿纸面 内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的，这是因为01P0E构成一菱形。反过 来，平行射入圆形匀强磁场的相同带电粒子，如果磁场圆半径等于轨迹圆半径，则所有粒子都 从磁场边界上同一点射出磁场。【例5】（2009 海南卷16）如图12, ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为 e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边 上的任意点入射，都只能从 A 点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度大小为Bo令圆
14、弧是自C点垂直于BC入射的电子在 磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场作用力为f=evOBf岳山MEUKEin吐闽圧 越聖左声它诵近 F坝圖代杆 岡 搭帕出右柠【如曲逶柱埴崔*1上- 真韭禅.卍加片显11富亀曲中申 卜1喊丹金卉莘trr b 1 Wt ,w fl*i 瞠：3（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子，在A点 沿DA方向射出，且自BC边上其他点垂直于入射电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆 弧是所求的最小磁场区域的一个边界。为了决定该磁场区域的另一边界，我们分析射中A点的电子的速度方向与BA延长线的交角 （不妨设00n2）o该电子的运动轨迹为qpA，如图13所示。图中，圆弧Ap的圆心为0, pq垂直于BC边，由式知，圆弧Ap的半径仍为a在以D为原点、DC为x轴，AD为y轴的坐 标系中，P点的坐标（x,y）为x=asin。y=- a-acos。 =-acos。斟UM枷丿制仙池!權區的融仙踣I饨帥朗陀川切那常则L啊惜卿細HJ服汁着*点评：考虑到所有从BC边射入的电子中，从C点入射的电子的轨迹是最靠上的，所以只要 保证此轨迹位于磁场中即可，则此轨迹应为所求磁场区域的上边界。因此，所求的最小匀强磁 场区域由图13中两段四分之一圆弧组成。（责任编辑易志毅）
