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1、 空间几何体的表面积与体积一、选择题(每小题6分，共36分) 1.长方体的三个相邻面的表面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为()(A) (B)56 (C)14 (D)64来源:数理化网2.(预测题)如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是()(A)2 (B)3 (C)6 (D)93.(20xx威海模拟)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积等于()(A) (B)2 (C)2 (D)64.在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为()(A) (B) (C) (D)
2、5.由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的主视图、左视图、俯视图相同如图所示，其中视图中四边形ABCD是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为()(A) (B)2 (C)3 (D)46.(易错题)某几何体的三视图如图所示，当ab取最大值时，这个几何体的体积为()(A) (B) (C) (D)二、填空题(每小题6分，共18分)来源:7.(20xx济南模拟)若边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是cm.8.圆锥的全面积为15，侧面展开图的圆心角为60，则该圆锥的体积为.9.(20xx德州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，其主视图、俯视
3、图、左视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是.三、解答题(每小题15分，共30分)10.如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm).来源:(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积.来源:11.如图，已知平行四边形ABCD中，BC2，BDCD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点.记CDx，V(x)表示四棱锥FABCD的体积.(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值.【探究创新】(16分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB1，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬
4、到点C1，所爬的最短路程为2.(1)求AB的长度.(2)求该长方体外接球的表面积.来源:答案解析1.【解析】选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则，得，来源:令球的半径为R，则(2R)222123214，R2，S球4R214.【变式备选】设三棱锥的3条侧棱两两垂直，其长度分别为2、4、4，则其外接球的表面积为()(A)48 (B)36 (C)32 (D)12【解析】选B.构造长方体解题，设外接球半径为R，则(2R)222424236，R29，S球4R236.2.【解析】选D.由三视图可知，该几何体是一个由底面半径为2高为3的圆柱中间挖去一个底面半径为1的等高圆柱后余下的部分，
5、所以，其体积为(2212)39.【变式备选】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()(A) cm3 (B)3 cm3 (C) cm3 (D) cm3【解析】选D.由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，所以其体积为Vr2hr33(cm3).3.【解析】选D.由主视图还原实物图知该几何体是高是1，底面边长是2的正三棱柱，S侧2136.4.【解析】选C.由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球()3.5.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键.【解析】选B.由题意得
6、该几何体中正四棱锥的侧棱长为1，底面正方形的对角线长为，故底面正方形的边长为1，所以几何体的表面积为8(12)2.6.【解题指南】构造出关于a，b的关系式，利用基本不等式求最值.【解析】选D.由题意知，该几何体的直观图如图所示，且AC，BD1，BCb，ABa.设CDx，ADy，则x2y26，x21b2，y21a2，消去x2，y2得a2b28，所以ab4，当且仅当ab2时等号成立，此时x，y，所以V1.【误区警示】解答本题常见的错误是忽视ab取最大值这一条件.7.【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，展开后EF2(). EG(cm).答案：8.【解析】设底面圆的半径为r，母线长为a，则侧面积为(2r
7、)ara.由题意得，解得，故圆锥的高h5，所以体积为Vr2h5.答案：9.【解析】根据已知的三视图可知空间几何体是一个三棱锥，如图所示三棱锥PABC，且PABA，PAAC，ABAC，PAABAC1，可以看作是棱长为1的正方体的一角，其外接球就是棱长为1的正方体的外接球，半径为，S4R23.答案： 310.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体.由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S522222()2224 (cm2)，所求几何体的体积V23()2210(cm3).来源:11.【解题指
8、南】利用体积公式得到V(x)的表达式，然后根据基本不等式或函数的知识求最大值.来源:【解析】(1)平面ADEF平面ABCD，交线为AD且FAAD，FA平面ABCD.BDCD，BC2，CDx，FA2，BD(0x2)，SABCDCDBDx，来源:V(x)SABCDFAx(0x2).(2)方法一：要使V(x)取得最大值，只需x(0x2)取得最大值，x2(4x2)()24，V(x)2.当且仅当x24x2，即x时等号成立.故V(x)的最大值为.方法二：V(x)x.来源:0x2，0x21，x22x2x222x24，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.由题意得2，解得x2.即AB的长度为2.(2)设长方体外接球的半径为R，则(2R)21212226，R2，S表4R26.即该长方体外接球的表面积为6.
