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1、柯西（Cauchy）中值定理:设函数5：、：满足：在闭区间乩训上连续；在开区间内可导；对任意存那么山山内至少有一点上 八：!,使得I 心一.灼门一内柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。在柯西中值定理中，若取g（x）=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相 同。因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉 格朗日中值定理的推广。我将从两方面对其进行解释：1几何理解在满足定理条件的前提下，函数f（x）上必有一点的切线与二二在处对应的两点和;mu点的连线平行）：等号前为、=；山二对应两点的连线斜率，等号后为匚门上一点的导数的值，也就
2、是门上一点的斜率，两斜 率相等，两线平行。2代数理解 我们将雷函数求导，得到众所周知f（x）函数记录的其实就是川 函数在每一个瞬间的变化状态。即，在 = I这一瞬间广雷进行了程度为门门的变化， 在丁二忙这一瞬间川进行了程度为门的变化。函数由几“变化到厂妙的过程， 其实就是凡函数在山区间中记录的变化状态的依次累加，就是对函数在肚山区 间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平 均值的数值一定在广的某一点上出现过（即厂任），因为（伐）连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量/：，：|_/门。即所谓的必有一使-.。即，沙上函数的变化量内函数变化状态的平均值乘以区间长度。
