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1、广东省肇庆市2010届高三年级第二次模拟考试数学试题(理科)本试卷共21小题,满分150分考试用时120分钟一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的1已知函数的最小正周期为=( )ABC1 D22设集合那么“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知向量等于( )A30B45C60D754已知数列是各项均为正数的等比数列,=( )A2B33C84D1895在区间0,上随机取一个数x,则事件“”发生的概率为( )ABCD6从6名学生中选4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作,若甲、乙两
2、人不能从事A工作,则不同的选派方案共有( )A280B240C180D967已知圆对称,则ab的取值范围是ABCD8我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方:将1,2,9填入33的方格内,使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15,如图1所示,一般地,将连续的正整数1,2,3,n2填入nn个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方,记n阶幻方的对角线上数的和为N,如图1的幻方记为N3=15,那么N12的值为 ( )A869 B870 C871 D875二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。(一)必做题(913题)9已知= 10学
3、校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图2所示,其中支出在元的同学有30人,则n的值为 。from:11阅读如图3所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果T= 。12如图4,在三棱锥PABC中,PA平面ABC、ABC为正三角形, 且PA=AB=2,则三棱锥PABC的侧视图面积为 。13设实数的取值范围是 。(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14(坐标系与参数方程选做题)曲线对称的曲线的极坐标方程为 。15(几何证明选讲选做题)如图5,AB为O的直径,弦AC、BD交于点P,若AB=3,CD=1,则= 。三、解答题:本大题共6小题,满
4、分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16(本小题满分12分)已知A、B、C是ABC的三个内角,向量且 (1)求角A; (2)若的值。17(本小题满分12分)如图6,已知正三棱柱ABCA1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1。 (1)求证:平面AB1D平面B1BCC1; (2)求证:A1C/平面AB1D; (3)求二面角BAB1D的正切值。18(本小题满分14分)在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y,设O为坐标原点,点P的坐标为记.(1)求随机变量 的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;(2)求随机变
5、量的分布列和数学期望.19(本小题满分14分)已知焦点在x轴上,离心率为的椭圆的一个顶点是抛物线的焦点,过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点,交y轴于点M,且 (1)求椭圆的方程; (2)证明:为定值。?源自:中国#学考#频道?20(本小题满分14分)已知函数 (1)若函数的取值范围; (2)若对任意的时恒成立,求实数b的取值范围。21(本小题满分14分) 在数列来自:中国学考频道 (1)求证:; (2)求证:; (3)若参考答案一、选择题15 DABCC 68 BAB二、填空题93 10100 1130 1213 14 15三、解答题16(本小题满分12分)解:(1)因为,所以, (2分
6、)所以 (4分)因为 (6分) (2)因为所以 (8分)所以 (9分)所以 (11分)即 (12分)17(本小题满分12分) 解法一: 证明:(1)因为B1B平面ABC,AD平面ABC,所以ADB1B (1分)因为D为正ABC中BC的中点,所以ADBD (2分)又B1BBC=B, 所以AD平面B1BCC1 (3分)又AD平面AB1D,故平面AB1D平面B1BCC1 (4分) (2)连接A1B,交AB1于E,连DE (5分)因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点,所以E为AB1的中点 (6分)又D为BC的中点,所以DE为A1BC的中位线,所以DE/A1C (7分)又DE平面AB1D,所以A1C/
7、平面AB1D (8分) (3)解:过D作DFAB于F,过F作FGAB1于G,连接DG。因为平面A1ABB1平面ABC,DFAB,所以DF平面A1ABB1。又AB1平面A1ABB1,所以AB1DF。又FGAB1,所以AB1平面DFG,所以AB1DG。 (9分)又AB1FG,所以DGF为二面角BAB1D的平面角。 (10分)因为AA1=AB=1,所以在正ABC中,在 (11分)所以在 (12分)解法二:解:建立如图所示的直角坐标系,依题意有: (1)证明:由,得又BCBB1=B,所以AD平面B1BCC1。 (4分)又AD平面AB1D,所以平面AB1DB1BCC1 (5分) (2)证明:连接A1B,
8、交AB1于E,连DE,from:因为点E为正方形A1ABB1对角线的交点,所以E为AB1的中点,即 (6分)又DE平面AB1D,所以A1C/平面AB1D (8分) (3)解:设平面ABB1的一个法向量为由 (9分)设平面AB1D的一个法向量为由 (10分)所以 (11分)所以,依图可得二面角BAB1D的正切值为 (12分)18(本小题满分14分)解:(1)可能的取值为,且当或时,. (3分)因此,随机变量的最大值为3. 有放回抽两张卡片的所有情况有39种,即事件“取最大值”的概率是 (7分) (2)随机变量可能取值为0,1,2,5。 (8分)因为当=0时,只有这一种情况,所以 (9分)因为当四
9、种情况,; (10分)因为当两种情况。;所以随机变量的分布列是0123P (12分)因此随机变量的数学期望为 (14分)*copoyright:x。k。*19(本小题满分14分)解:(1)依题意,设椭圆方程为 (1分)因为抛物线的焦点为(0,1),所以 (2分)由 (4分)故椭圆方程为 (5分) (2)依题意设A、B、M的坐标分别为,由(1)得椭圆的右焦点F(2,0), (6分)由 (8分)由 (10分)因为A、B在椭圆上,所以即 (12分)所以的两根,故是定值。 (14分)20(本小题满分14分)解:(1), (2分)依题意知恒成立。 (3分)因此 (4分)故实数a的取值范围是4,4。 (5分) (2)因为当, (6分)于是当 (7分)为减函数,在0,1上为增函数。 (8分)要使上恒成立,只需满足 (10分)即 (12分)因为故实数b的取值范围是 (14分)21(本小题满分14分)证明:(1)当结论成立; (1分)假设成立 由 (4分)由、知,对于 (5分) (2)由得(3)若 (10分)将上述n个式子相乘得 (11分)下面反证法证明:假设与已知矛盾。所以假设不成立,原结论成立,即当 (14分)