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1、空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。1。空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）.OB = OA + AB = a + b ； BA = OA - OB = a - b ; OP = Xa （人 e R）运算律：（1）加法交换律:a+b = b + a A-加法结合律r（a七b） + C =a + 妇 c） 一一-数乘分配律：M0 + b） = M + b运算法则：三角形法则、平行四
2、边形法则、平行六面体法则3。共线向量.（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共A线向量或平行向量，a平行于b，记作ab .（2）共线向量定理:空间任意两个向量a、b（b丰O）, a/b存在实数刀使a =庙。（3）三点共线:A、B、C三点共线 AB = AC=OC = xOA + yOB（其中x + y = 1）（4）与a共线的单位向量为土 -4。共面向量（1）定义:一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明:空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数 x, y 使 p = xa + yb
3、（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面 AP = xAB + yAC一-定比分点公式：若A(气，y1, z1)，B(x2, y2, z2)，ap=x pb，则点p坐标为 /x +Xx y +Xy z +Xz、(旦 2i 2, 1 )2).推导:设p(x，y，z)则(x气yy,zz)=X(气x,y y,z)，1 + X1 + X1 + X1,11222口 ak 、/ 、r . t,x + x y + y z + z 、业然，当 P 为 AB 中点时寸，P( 2,12,1 )2 22 AABC中, A(x ,y ,z),B(x ,y ,z ),C(x ,y ,z )，三角形重心 P 坐标为 11
4、1222333x + x + x y + y + y z + z + z、 P( 123123123 )P( 3 2 2 )2 ABC的五心一 AB AC 内心P:内切圆的圆心，角平分线的交点。AP =眼 +lAB lACl=IPCI垂心P:高的交点：PA - PB = PA - PC = PB - PC (移项，内积为0,则垂直) 1重心P:中线的交点，三等分点(中位线比)AP = 3(AB+AC)外心？:外接圆的圆心，中垂线的交点。PA = PB)(单位向量)中心:正三角形的所有心的合一。(4)模长公式：若 a = (a , a , a ),b = (b , b , b ), 123123
5、贝JI a 1= Ja -a = Ja2 + a 2 + a 2 , | b =Jbb = Jb2 + b 2 + b 2J 123 ，123(5)夹角公式：cosja -b =a - b_a b + a b + a b112233.1 a 1 1 b 1 J a 2 + a 2 + a 2 :b 2 + b 2 + b 2 13-3,12 32ABC中ab AC 0 二A为锐角ab AC 0二A为钝角，钝角(6)两点间的距离公式：若A(x ,y ,z )，B(x ,y ,z )， . 一 丁 1 1222:-x )2 + (y - y )2 + (z - z )2 , 212121贝 JI
6、AB I=AB2 =石或 d = (x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )2 A, B 、2121217。空间向量的数量积.(1) 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a, b ,在空间任取一点。,作 OA = a,OB = b，则ZAOB叫做向量a与b的夹角，记作 ；且规定 0 a,b K兀，显然有= ；若=土,则称小与b互相垂直,记作：a 1 b . 一 (2)向量的模设OA = a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模记作：Ia I。e)向量的数量积:已知向量a,b，则a I b 1 cos 叫做a,b的数量积，记作 a b，即 a b = I a I I
7、b I ；cos._(4) 空间向量数量积的性质：_ 二- _ -一 a e =I a Lcos 。 a 1 b o a b = 0。I a I2 = & a。(5)空间向量数量积运算律：(Xa) b =X(a b) = a (Xb)。a b = b a (交换律)._ 一 a (b + c) = a b + a c (分配律). fc- F- t fr 不满足乘法结合率：(a b)c丰a(b c) 一一-二.空间向量体几何- -1 .线线平行o两线的方向向量平行1- 1线面平行。线的方向向量与面的法向量垂直1 2面面平行。两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）。两线的方向向量垂直2 1线面
8、垂直。线与面的法向量平行2 2面面垂直。两面的法向量垂直3线线夹角e （共面与异面）00,90。 o两线的方向向量,n2的夹角或夹角的补角，Fcose = cos v n1, n2 3 1线面夹角e 0。,90。:求线面夹角的步骤:先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹 角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角。sin e3 2面面夹角（二面角）e 0。,180。:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向 量n1, n 2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角。cose = 土 cos v n , n 4 .点面距离h :求点pG, *）到平面a的
9、距离：在平面a上去一点qG, y），得向量pq ； 计算平面a的法向量n ；h _/.厂_h = n_4- 1线面距离（线面平行）：转化为点面距离4 2面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1 .基本运算与基本知识（）例1。已知平行六面体ABCD- a，b，cd，化简下列向量表达式，标出化简结果的向 量。 AB + BC ； AB + AD + AAf ； AB + AD + 2CC；冷+ AD + AA）。例2.对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式：OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z = 1）的四点 P, A,B,C 是否共面？例
10、3 已知空间三点 A（0，2,3），B （2,1, 6）,C （1,1, 5）。求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量a分别与向量AB, AC垂直，且I a 1= 13，求向量a的坐标。2 .基底法（如何找，转化为基底运算）3 .坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4 .几何法例 4。如图，在空间四边形 OABC 中,OA = 8，AB = 6, AC = 4，BC = 5, ZOAC = 45 , /OAB = 60， 求OA与BC的夹角的余弦值。AA说明：由图形知向量的夹角易出错，如 = 135 易错写成 = 45， 切记！ 例5.长方体ABCD - ABCD中，AB
11、 = BC = 4， E为AC 与 BD的交点，F为BC与BC的 交点，又AF 1 BE，求长方体的高BB。E【模拟试题】1. 巳知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达 式，并标出化简结果向量：(1) AB + BC + CD ；(2) AB +、(BD + BC) ；(3)AG-(AB + AC)。222。巳知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量。OE = kOA, OF=kOB, OG = kOC, OH=kOD。(1) 求证：四点E, F, G, H共面；(2) 平面AC /平面EG .3。如图正方体ABCD - ABCD中，BE = DF = 1 AB，求BE与DF所成角的余弦.ii
