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1、学习要点：学习要点：学习要点：学习要点： 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点运动的过程中，若点作平移变动，则选
2、择直角坐标系；而若点运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。作旋转变动，则采用极坐标系。作旋转变动，则采用极坐标系。作旋转变动，则采用极坐标系。xyoyzoxoPP(x,y)P(x,y,z)（1 1 1 1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；（2 2 2 2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合
3、与全体有序实数对）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对（x , yx , y）的集合建立一一对应；）的集合建立一一对应；）的集合建立一一对应；）的集合建立一一对应；（3 3 3 3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x , y , zx , y , z）的集合建立一一对应；）的集合建立一一对应；）的集合建立一一对应；）
4、的集合建立一一对应；复习回顾复习回顾 4.1.1 4.1.1 4.1.1 4.1.1 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系数数数数 轴轴轴轴空间直角空间直角空间直角空间直角坐标系坐标系坐标系坐标系平面直角平面直角平面直角平面直角坐标系坐标系坐标系坐标系R R（x , yx , y) ) ) )（x , y , zx , y , z) ) ) )复习回顾复习回顾建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: :（1 1）若图形有对称中心
5、，则可选对称中心为坐标原点；）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点；）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点；）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点；（2 2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；（3 3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系建立坐标系是为
6、了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足：中，应满足：中，应满足：中，应满足：任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置；标就能确定这个点的位置；标就能确定这个点的位置；标就能确定这个点的位置；而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。而确定
7、点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。复习回顾复习回顾选择适当的坐标系，表示边长为选择适当的坐标系，表示边长为选择适当的坐标系，表示边长为选择适当的坐标系，表示边长为1 1 1 1的正六边形的顶点。的正六边形的顶点。的正六边形的顶点。的正六边形的顶点。巩固练习巩固练习O Oy yx xF FA AE EB BD DC C（1 1 1 1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？水
8、雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？军军军军 舰舰舰舰水雷群水雷群水雷群水雷群创设情境创设情境创设情境创设情境 从这向从这向从这向从这向北北北北1000100010001000米米米米 请问去请问去请问去请问去农行农行农行农行路路路路怎么走？怎么走？怎么走？怎么走？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从从这这向向北北走走 1 0 0 0米米！出发点出发点方向方向距距 离离在生活中人们经常用方向
9、和距离来表示一点在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平面上一点表示平面上一点的位置的思想，就是的位置的思想，就是极坐标极坐标的基本思想。的基本思想。情境分析情境分析一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点在平面内取一个定点在平面内取一个定点O O，叫做，叫做，叫做，叫做极点极点极点极点。引一条引一条引一条引一条射线射线射线射线O Ox，叫做叫做叫做叫做极轴极轴极轴极轴。再选定一个长度单位和再选定一个长度单位和再选定一个长度单位和再选定一个长度单位和角度单角度单角度单
10、角度单位位位位及及及及它的正方向它的正方向它的正方向它的正方向（通常取逆时（通常取逆时（通常取逆时（通常取逆时针方向）。针方向）。针方向）。针方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系。xO O新课讲解新课讲解二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定: :对于平面上任意一点对于平面上任意一点对于平面上任意一点对于平面上任意一点MM，用，用，用，用 表示线段表示线段表示线段表示线段OMOM的长度，用的长度，用的长度，用的长度，用 表示表示表示表示从
11、从从从OOx到到到到OM OM 的角度，的角度，的角度，的角度， 叫做点叫做点叫做点叫做点MM的的的的极径极径极径极径， 叫做点叫做点叫做点叫做点MM的的的的极角极角极角极角，有序数对，有序数对，有序数对，有序数对（ ， ）就叫做就叫做就叫做就叫做MM的极坐标。的极坐标。的极坐标。的极坐标。特别强调：特别强调：特别强调：特别强调： 表示线段表示线段表示线段表示线段OMOM的长度，即点的长度，即点的长度，即点的长度，即点MM到极点到极点到极点到极点OO的的的的距离；距离；距离；距离； 表示表示表示表示从从从从OOx到到到到OMOM的角度，即的角度，即的角度，即的角度，即以以以以OOx（极轴）为极
12、轴）为极轴）为极轴）为始边，始边，始边，始边，OM OM 为终边的角。为终边的角。为终边的角。为终边的角。xOM 新课讲解新课讲解题组题组1：说出下图中各点的极坐标：说出下图中各点的极坐标练一练练一练平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
13、不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定特别规定特别规定特别规定: : 当当当当MM在极点时，它的极坐标在极点时，它的极坐标在极点时，它的极坐标在极点时，它的极坐标 =0=0， 可以可以可以可以取任意值。取任意值。取任意值。取任意值。想一想？想一想？想一想？想一想？三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究: :X XOOMM 如图：如图：如图：如图：OMOM的长度为的长度为的长度为的长度为4 4，请说出点请说出点请说出点请说出点MM的极坐标的其他表达式的极坐标的其他表达式的极坐标的其
14、他表达式的极坐标的其他表达式 . .思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。是终边相同的角。是终边相同的角。是终边相同的角。本题点本题点本题点本题点MM的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：
15、极径相同，不同的是极角。极径相同，不同的是极角。极径相同，不同的是极角。极径相同，不同的是极角。新课讲解新课讲解题组题组2：在极坐标系里描出下列各点：在极坐标系里描出下列各点练一练练一练ABCDEFGOX解析：解析：四、四、四、四、1 1、负极径的定义、负极径的定义、负极径的定义、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。情况下，极径也可以取负值。情况下，极径也可以取负值。情况下，极径也可以取负值。对于点对于点对于点对于点MM（ ，
16、 ）负极径时的规定：负极径时的规定：负极径时的规定：负极径时的规定：11作射线作射线作射线作射线OPOP，使，使，使，使 XOP= XOP= 22在在在在OPOP的反向延长的反向延长的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点线上取一点线上取一点MM，使，使，使，使 OMOM = = ; ;如图示：如图示：如图示：如图示：OXP M新课讲解新课讲解OXP = /4M 2 2、负极径的实例、负极径的实例、负极径的实例、负极径的实例在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点:M:M（3 3， /4/4）的位置的位置的位置的位置11作射线作射线作射线作射线OPOP，使，使，
17、使，使 XOP= XOP= /4 /4 22在在在在OPOP的反向延长线上取一的反向延长线上取一的反向延长线上取一的反向延长线上取一点点点点MM，使，使，使，使 OMOM = 3;= 3;如如如如图示：图示：图示：图示： MM（3 3， /4/4）新课讲解新课讲解 题组题组题组题组3 3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标练一练练一练 3 3、关于负极径的思考、关于负极径的思考、关于负极径的思考、关于负极径的思考“ “负极径负极径负极径负极径” ”真是真是真是真是“ “负负负负”
18、 ”的吗？的吗？的吗？的吗？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的在所说的在所说的在所说的“ “负极径负极径负极径负极径” ”中的中的中的中的“ “负负负负” ”到底是什么意思？到底是什么意思？到底是什么意思？到底是什么意思？ 思考：思考：试把试把试把试把负极径时点的确定过程，与正极径时负极径时点的确定过程，与正极径时负极径时点的确定过程，与正极径时负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什
19、么不点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？同？同？同？新课讲解新课讲解 4 4、正、负极径时，点的确定过程比较、正、负极径时，点的确定过程比较、正、负极径时，点的确定过程比较、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP11作射线作射线作射线作射线OPOP，使，使，使，使 XOP= XOP= /4 /4 22在在在在OPOP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点MM，使，使，使，使 OMOM = 3= 311作射线作射线作射线作射线OPOP，使，使，使，使 XOP= XOP= /4 /4 22在在在在
20、OPOP的上取一点的上取一点的上取一点的上取一点MM，使，使，使，使 OMOM = 3= 3M画出点画出点画出点画出点: : （3 3， /4/4） 和（和（和（和（3 3， /4/4）给定给定给定给定 ,在极坐标系中描点的方法：在极坐标系中描点的方法：在极坐标系中描点的方法：在极坐标系中描点的方法：先按极角先按极角先按极角先按极角找到找到找到找到极径所在的极径所在的极径所在的极径所在的射线射线射线射线，后，后，后，后按极径的正负和数值按极径的正负和数值按极径的正负和数值按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描在这条射线或其反向延长线上描在这条射线或其反向延长线上描在这条射线或其反向延长
21、线上描点。点。点。点。M 5、负极径的实质、负极径的实质 从比较来看，负极径比从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射正极径多了一个操作，将射线线OP“反向延长反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转而反向延长也可以看成是旋转 ，因此，所谓因此，所谓“负极径负极径”实实质是质是针对方向针对方向的。这与数学中的。这与数学中通常的习惯一致，用通常的习惯一致，用“负负”表表示示“反向反向 ”。负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。练习：写出点练习：写出点 的负极径的极坐标的负极径的极坐标（6 6， ）答：（答：（6， +）或（或（6， +）特别强调：特别
22、强调：一般情况下（若不作特别说明时），一般情况下（若不作特别说明时），认为认为 0 。因为负极径只在极少数。因为负极径只在极少数情况使用情况使用。五、极坐标系下点的极坐标五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点探索点M（3， /4）的所有极坐标）的所有极坐标1极径是正的时候：极径是正的时候：2极径是负的时候：极径是负的时候：六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况11给定（给定（给定（给定（ , , ）, ,就可以在就可以在就可以在就可以在极坐标极坐标极坐标极坐标平面平面平面平面内确定唯一的一点内确定唯一的一点内确定唯一的一点内确定唯一的一点MM。22给定平面
23、上一点给定平面上一点给定平面上一点给定平面上一点MM，但却有无数个，但却有无数个，但却有无数个，但却有无数个极坐标与之对应。极坐标与之对应。极坐标与之对应。极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)新课讲解新课讲解一般地一般地一般地一般地, , , ,若若若若( ( ( (,) ) ) )是一点是一点是一点是一点MMMM的极坐标的极坐标的极坐标的极坐标, , , ,则则则则( ( ( (,+2+2+2+2k k k k ) ) ) )或或或或( ( ( (,+(2,+(2,+(2,+(2k k + + + + 1)1)1)1) ) ) )都可以作为它的极坐标
24、都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标. . . .若若限定限定0,02或 ,则则则则除极点除极点除极点除极点外外外外, ,平面内的点和极坐标就可平面内的点和极坐标就可平面内的点和极坐标就可平面内的点和极坐标就可一一对应一一对应一一对应一一对应了了了了. .六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况2.在极坐标系中在极坐标系中,与与(,)关于极轴对称关于极轴对称的点是的点是( )A.(,) B.(,)C.(,) D.(,)CD题组题组4 1. 在极坐标系中，与点在极坐标系中，与点(3, )重合重合的点是的点是( )A.(3, ) B. (
25、3, ) C. (3, ) D. (3, ) 3.在极坐标系中在极坐标系中,与点与点(8, )关关于极点对称的点于极点对称的点 的一个坐标是的一个坐标是 ( )A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ) A3333一点的极坐标一点的极坐标一点的极坐标一点的极坐标是是是是否否否否有有有有统一的表达式？统一的表达式？统一的表达式？统一的表达式？1111建立一个极坐标系需要哪些要素？建立一个极坐标系需要哪些要素？建立一个极坐标系需要哪些要素？建立一个极坐标系需要哪些要素？极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。极点；极轴；长度单
26、位；角度单位和它的正方向。极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。2222极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数无数无数无数. . . .极径有正有负；极径有正有负；极径有正有负；极径有正有负；极角也有正负且无数个。极角也有正负且无数个。极角也有正负且无数个。极角也有正负且无数个。有有有有. . . .（ ， ， ， ，2 2 2 2k k+ + + + ）课堂小结课堂小结或或或或（- - - - ， ， ， ，2 2 2 2k k+ + + + + + + + ）课堂小结
27、课堂小结1 1 1 1、极坐标、极坐标、极坐标、极坐标 （ （ （ （， ， ， ，2 2 2 2k k+） ） ） ） 和和和和（ （ （ （- - - -， ， ， ，2 2 2 2k k+ + + +） ） ） ）其中其中其中其中 表示同一个点表示同一个点表示同一个点表示同一个点（ （ （ （， ， ， ，） ） ） ）； ； ； ；2 2、点、点 M M（ （ （ （ ， ， ， ， ） ） ） ） 关于极点的对称点的一个坐标为关于极点的对称点的一个坐标为（ （ （ （- - - -， ， ， ，） ） ） ） 或或（ （ （ （， ， ， ，+） ） ） ） ；3 3、点、点 M M（ （ （ （ ， ， ， ， ） ） ） ） 关于极轴的对称点的一个坐标为关于极轴的对称点的一个坐标为（ （ （ （， ， ， ，- - - -） ） ） ） 或或（ （ （ （- - - -， ， ， ，- - - -） ） ） ） ；4 4、点、点 M M（ （ （ （ ， ， ， ， ） ） ） ） 关于直线关于直线 的对称点的一个坐标为的对称点的一个坐标为（ （ （ （- - - -， ， ， ，- - - -） ） ） ） 或或（ （ （ （， ， ， ，- - - -） ） ） ） ；课外作业课外作业
