《华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、.2000 年华南师大学数学分析一、填空题（ 3*10=30分）1.设 an(1)nsin n,n 1,2, 则lim an _,lim an_ ；4nn2.设 f ( x)x,x为有理数xR,则 f ( x)在x_处连续；x,为无理数x3. lim1x n_;0dxn1x14. lim (sin xcos x) x_;x 05.方程 x23xc0(c为实常数 ) 在区间 0,1 中至多有个根；dx6.设 I n(x2a 2 ) n (n1, n为自然数 )，写出 I n1的递推公式 I n 1 _ _;7.设 u( x, y)sin xcos yf (t )dt , f (t)是可微函数，则
2、 du _ _;08.设 f ( x, y) 在 P0(2,0)处可微，且在P0 处指向 P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3 ，则在 P0 处指向 P2(1,2)的方向导数是 _;9.写出函数在x=0 处的幂级数展开式：sin2 x_ _;10.曲线 xa cos3 t, ya sin 3 t,0t2的弧长 s=_.二、 (12 分 )设 f(x)在 0,+ )上连续，lim f ( x) 存在，证明： f(x)在 0,+ )上可取得最大值或x最小值 .三、 (12 分 )设函数 z=z(x,y), 由方程 x2y 2z2yf ( z ) 所确定，其中 f 是可微函数，试证
3、：y( x2y 2z2 )z2xyz2xz .xyWord 资料.四、（ 12 分）求极限： lim (12n222) .nnn 1n n 2n2n五、（ 12 分）已知 a,b 为实数，且 1ab, 证明不等式： （ aln bln a1）(b 1) .六、 (12 分 )计算曲面积分：Ixdydzy2 dzdxz3dxdy.其中 S 是球面 x2y 2z21S的外侧 .七、 (10分 )设 un (x)0 ,在 a,b 上连续， n=1,2, ,un ( x) 在a,b 上收敛于连续函数f(x),证n 1明：un (x) 在 a,b 上一致收敛于f(x).n 1Word 资料.2003 年
4、华南师大学数学分析一、 (12分 )求极限 lim (111).n13 35(2n 1)( 2n 1)二、 (12分)设 D(x y) :1x1, 1y1 ,求积分y x2 dxdy.,Dnx三、 (12 分 )证明3x3 在 a,b 上一致收敛 (其中， 0ab+);在 (0,+ )上不一致收敛；n 1 1n并证明：函数 S(x)=nx3 在(0,+ )上连续 .3xn 1 1n四、 (12 分 )求第二型曲线积分L2 y3dx1 x3 dy ，其中， L : x22 y 21，取逆时针方向。33五、 (12 分 )f(x)是 (a,+ )上的连续函数， 求证：如果 lim f (x) 和
5、limf ( x) 都存在 (有限 )，那x ax么， f(x)在 (a,+ )上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。六、 (15 分 )设f(, )dx 关于yc, d 一致收敛，而且，对于每个固定的yc, d f(x,y)x y，a关于 x 在 a,+ )上单调减少。求证：当x时，函数 xf(x,y)和 f(x,y)关于 y c, d 一致地收敛于 0.Word 资料.2004 年华南师大学数学分析1.(12 分 )设 an(11 ) n , n 1,2, , 证明数列 an 严格单调增加且收敛。n212.(12 分 )求函数 f ( x)xsinx , x0
6、的导函数，并讨论导函数的连续性。0,x03.(12 分 )求幂级数 2 ( 1)n n ( x1 ) n 的收敛半径和收敛域。n 1n24.(12 分 )求函数 f ( x)1,x 00,的 Fourier 级数，并由此求数列级数：0 x1 11( 1)n1的和。352n15.(12 分 )设 f(x)在 a,b 上连续，在 (a,b) 可导 (0ab) ， f(a) f(b) ，证明：存在，(a,b) ，f ( )(ba)使得f ( )。ln bln a6.(15 分) Br ( M 0 ) 是以 M 0(x0 , y0 , z0 ) 为心， r 为半径的球，Br ( M 0 ) 是以 M
7、0 为心， r 为3半径的球面， f(x,y,z)在 R 上连续，证明：df ( x, y, z)dSf ( x, y, z)dxdydzdr B r (M 0 )Br ( M 0 )Word 资料.2005 年华南师大学数学分析一、计算题（ 4*8=32 分）1.求 limcos(sin x)cos x3.x 0sinx2.求sec3 xdx .3.求limx 2 y2.y2( x, y) ( 0,0 ) x24.求xdyydx.其中 L： x2( y 1)22,0 R 1,取逆时针方向。L 4x2y2R二、证明题（ 3*9=27 分）ab1.证明：对a, b R,e 21 (eaeb )
8、；22.设 lim ana1 a2an0；0 ，证明： limnnn3.设 f(x)在(0,1)上连续， lim f ( x)lim f (x)，证明 :f(x)在(0,1)取到最大值 .x0x1Word 资料.三、讨论题（ 2*8=16 分）11111111.讨论级数 1 1111112 332435 263(2n 1) 2( 2n)1 的敛散性。32.设0,0 ，讨论sin xdx 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。0 x2006 年华南师大学数学分析1.(15 分 )假设 lim f (x 3 ) 存在，试证明： lim f ( x)lim f ( x3 ) .x0x0x02.(15 分 )假设 f(x)在a,b 上为单调函数，试证明：f(x)在a,b上可积。3.(15 分 )假设 un ( x)(n1,2, ) 在a,b 上连续，级数un ( x) 在上一致收敛，试n 1(a,b)Word 资料.证明：（ i）un ( a) ,un (b) 收敛；(ii)un ( x) 在a,b上一致收敛。n 1n 1n 1
