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1、空间向量与立体几何中档大题规范练明晰考情1.命题角度：空间线、面关系的证明，空间角的求解.2.题目难度：立体几何大题一般位于解答题的第二题或第三题位置，中档难度.考点一利用空间向量证明平行与垂直要点重组设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb(kR)；lmabab0；lauau0；lauaku(kR)；uvukv(kR)；uvuv0.方法技巧利用空间向量证明平行、垂直的两种方法坐标法：建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标系研究点、线、面的关系；基向量法：选三个不共面的向量(夹角最好为90，45或60)，模长已知的向量作为基向量，将相关向量用基向量表示.1
2、.如图所示，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.2.如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.考点二空间角的求解要点重组设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平面，的法向量分别为u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线角设l，m所成的角为，则cos .(
3、2)线面角设直线l与平面所成的角为，则sin |cosa，u|.(3)二面角设l的平面角为(0)，则|cos |cosu，v|.3.(2018江苏)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.4.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的正弦值.考点三立体几何的综合问题方法技巧利用空间向量求解立体几何中的综合问题，要根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，将题中条件数量化，
4、利用计算方法求解几何问题.5.(2018全国)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.6.(2018衡水模拟)在矩形ABCD中，AB3，AD2，点E是线段CD上靠近点D的一个三等分点，点F是线段AD上的一个动点，且(01).如图，将BCE沿BE折起至BEG，使得平面BEG平面ABED.(1)当时，求证：EFBG；(2)是否存在，使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.7.在四棱柱ABCDA1B1C1D
5、1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱DD1平面ABCD，O是AC的中点，点E在线段BD1上，且3，连接OE，AE，EC.(1)求证：OE平面A1B1CD；(2)若平面AEC与平面A1B1CD所成的锐二面角的大小为30，求直线BD1与平面A1B1CD所成的角的正弦值.7典例(12分)如图1，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的中点，将ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥ABCDE，其中AO.(1)求证：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的余弦值.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准(1)证明如图，在折叠前的图形中，连接
6、AO交DE于点F，则F为DE的中点，在等腰直角三角形ABC中，因为BC6，O为BC的中点，所以ACAB3，OA3.因为CDBE，所以D和E分别是AC，AB的三等分点，则AF2，OF1.2分如图，在折叠后的图形中，连接OF和AF，因为AO，所以AF2OF2AO2，所以AOOF.3分在折叠前的图形中，DEOA，所以在折叠后的图形中，DEAF，DEOF.4分又OFAFF，OF，AF平面OAF，所以DE平面OAF.因为OA平面OAF，所以DEOA.5分因为OFDEF，OF，DE平面BCDE，所以AO平面BCDE.6分(2)解以O为坐标原点，分别以OF，OB，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角
7、坐标系Oxyz，如图所示(F为DE的中点)，则A(0，0，)，C(0，3，0)，D(1，2，0)，所以(0，0，)，(0，3，)，(1，2，).8分设n(x，y，z)为平面ACD的一个法向量，则令z，得n(1，1，)，|n|.9分由(1)知，(0，0，)为平面CDB的一个法向量，又|，n010(1)3，10分所以cosn，又由图知，二面角为锐角，所以二面角ACDB的余弦值为.12分构建答题模板第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线.第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标.第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角：计算向量的夹角.第五步得结论：得
8、到所求两个平面所成的角或直线与平面所成的角.1.(2018永州模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EFAC，EF1，ABC60，CE平面ABCD，CE，CD2，G是DE的中点.(1)求证：平面ACG平面BEF；(2)求直线AD与平面ABF所成的角的正弦值.2.(2018天津)如图，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CDE；(2)求二面角EBCF的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长.3.如图，同
9、一平面上直角梯形ABCD和直角梯形ABEF全等，AD2AB2BC，将梯形ABEF沿AB折起，使二面角FABD的大小为(0).(1)求证：对任意(0，)，平面ABEF平面ADF；(2)当时，求二面角AEDB的余弦值.空间向量与立体几何中档大题规范练明晰考情1.命题角度：空间线、面关系的证明，空间角的求解.2.题目难度：立体几何大题一般位于解答题的第二题或第三题位置，中档难度.考点一利用空间向量证明平行与垂直要点重组设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb(kR)；lmabab0；lauau0；lauaku(kR)；uvukv(kR)；uvuv0.方法技巧利
10、用空间向量证明平行、垂直的两种方法坐标法：建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标系研究点、线、面的关系；基向量法：选三个不共面的向量(夹角最好为90，45或60)，模长已知的向量作为基向量，将相关向量用基向量表示.1.如图所示，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明(1)由直三棱柱的性质，得A1AAB，A1AAC，又BAAC，如图，以点A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(
11、0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4).取AB的中点N，连接CN，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，(2，4，0)，(2，4，0)，DENC.又NC平面ABC，DE平面ABC，DE平面ABC.(2)(2，2，4)，(2，2，2)，(2，2，0)，(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF.又AFEFF，AF，EF平面AEF，B1F平面AEF.2.如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(
12、2)求证：平面PAD平面PDC.证明由题意知，PAAB，PAAD，BAAD，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，因为E，F分别是PC，PD的中点，所以E，F，(0，0，1)，(0，2，0)，(1，0，0)，(1，0，0).(1)因为，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)因为(0，0，1)(1，0，0)0，(0，2，0)(1，0，0)0，所以，即APDC，ADDC.又因为APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC.考点二空间角的求解要点重组设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平面，的法向量分别为u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线角设l，m所成的角为，则cos .(2)线面角设直线l与平面所成的角为，则si
