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1、【高中数学】高中数学平面向量期末考知识点一、选择题1在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且3a2+3c2-3b2=2ac，=2，则ABC的面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求出B的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca的值，然后求解三角形的面积【详解】在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且3a2+3c23b22ac，可得cosB，则sinB，2，可得cacosB2，则ac6，ABC的面积为：2故选C【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力2在中，若，则实数( )ABCD【答案】D【解析】【分析】将、用、表示，再代入中计
2、算即可.【详解】由，知为的重心，所以，又，所以，所以，.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.3延长线段到点，使得，则（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；【详解】，故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.4在中，已知，点D为BC的三等分点(靠近C)，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量的数量积，再利用余弦函数求最值，得解【详解】如图，8172cosBACBAC（0，），cosBAC（1，1）
3、，72cosBAC（5，9），故选C【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大5已知点在以为圆心，以1为半径的圆上，距离为的两点在圆上，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】设中点，得到，求得，再利用圆与圆的位置关系，即可求解故，得到答案.【详解】依题意，设中点，则，所以，在以1为半径，以为圆心的圆上，故.【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.6已知向量，则在方向上的投影为ABC1D【答案】C【解析】【分析】根据在方向上的投影定义求解.【详解】在方向上的投
4、影为，选C.【点睛】本题考查在方向上的投影定义，考查基本求解能力.7在中，则的值为（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】由题意转化，利用数量积的分配律即得解.【详解】，故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.8在边长为1的等边三角形中，点P是边上一点，且，则（）ABCD1【答案】C【解析】【分析】利用向量的加减法及数乘运算用表示，再利用数量积的定义得解【详解】依据已知作出图形如下：.所以故选C【点睛】本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题9已知向量，则的值为AB1
5、C2D3【答案】B【解析】【分析】【详解】因为，所以，故选B. 点睛：在向量问题中，注意利用，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合数量积的运算法则即可求出.10如图，在圆O中，若弦AB3，弦AC5，则的值是A8B1C1D8【答案】D【解析】【分析】【详解】因为，所以，而，所以，则所以，故选D11如图，在等腰直角中，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】设出等腰直角三角形的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得，由此得到，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将表示为以为基底来表示的形式.【详解】设，则，所以，所以.因为，所以.故选
6、：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.12设，若，则实数的值为（ ）AB2CD-3【答案】C【解析】【分析】计算，根据向量垂直公式计算得到答案.【详解】，即，解得.故选：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.13下列命题为真命题的个数是（ ）是无理数，是无理数；若，则或；命题“若，则”的逆否命题为真命题；函数是偶函数.ABCD【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法可判断的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断的正误；利用函数奇偶性的定义可判断的正误.综合可得出
7、结论.【详解】对于中，当时，为有理数，故错误；对于中，若，可以有，不一定要或，故错误；对于中，命题“若，则”为真命题，其逆否命题为真命题，故正确；对于中，且函数的定义域是，定义域关于原点对称，所以函数是偶函数，故正确.综上，真命题的个数是.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.14已知平面向量满足，则的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】【分析】以点为原点，分别为轴，轴的正方向建立直角坐标系，根据，得到点在圆，再结合直线与圆的位置关系，即可求解【详解】设，以点为原点，分
8、别为轴，轴的正方向建立直角坐标系，则，依题意，得，所以点在以为直径的圆上运动，设点，则，由圆心到直线的距离，可得.故选：D【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力15已知，是圆上的两个动点，若是线段的中点，则的值为（ ）.ABC2D3【答案】D【解析】【分析】判断出是等边三角形，以为基底表示出，由此求得的值.【详解】圆圆心为，半径为，而，所以是等边三角形.由于是线段的中点，所以.所以.故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16在四边形中，点在线段的
9、延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，因为点在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为 因为点在边所在直线上，故设当时故选：【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.17已知向量，则以下说法不正确的是（ ）A若，则B若，则C若取得最大值，则D的最大值为【答案】B【解析】【分析】A选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.
10、B选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C选项求得的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C选项的正确性.D选项利用向量模的运算来判断正确性.【详解】A选项，若，则，即，A正确.B选项，若，则，则，B不正确.C选项，其中.取得最大值时，则，则C正确.D选项，由向量减法、模的几何意义可知的最大值为，此时，反向.故选项D正确.故选：B【点睛】本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.18已知向量，满足，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据平方运算可求得，利用求得结果.【详解】由题意可知：，解得：本题正确
11、选项：【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.19已知向量，若，则等于（）A10B16CD【答案】C【解析】【分析】先利用向量垂直的坐标表示求出实数的值，得出向量的坐标，并计算出向量，最后利用向量模的坐标运算得出结果【详解】，则，得，则，因此，故选C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题20在中，已知，点满足，其中，满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据,由正弦定理可得为等腰直角三角形,进而求得点坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用,表示出.再由,将化为关于的二次表达式,由二次函数性质即可求得的最小值.【详解】在中,已知,由正弦定理可得 代入,解得即所以为等腰直角三角形以为原点,所在直线为轴,以的垂线为轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点坐标为所以,因为则则因为,则代入上式可得所以当时, 故选:A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.
