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1、高等数学有关概念、公式一，对函数概念的理解。（一），函数函数是数学中非常重要的一个概念，理解这个概念应特别注意把握以下几点：1、函数的两个基本要素是定义域和对应法则，只要这两个要素相同就是相同的函数，而与自变量、因变量分别用什么字母表示无关。2、函数对应法则一般用“f”表示，其中字母“f”也可以换用其他字母表示，如 g，F，等，但用不同字母表示的通常是不同的函数。3、函数表达式“y=f(x)”中的核心是“f( )”，它表示了函数式的基本结构，一旦函数确定，它就是不容更改的，字母“x”和“y”在一定条件下则是可变换的。 “x”的这种变化可以说是奇妙无穷，涵义深远，而高等数学研究的就是变量的变化规
2、律，所以本文主要就是围绕着“x”的这些变化展开的。4、函数的记号“y=f(x)”的意义可以理解为：对于一个由对应法则“f( )”确定的函数，如果给定其自变量为“x”，就可得到因变量的值，亦即函数值 “y”；每给定一个不同的“x”值，就有一个不同的函数值“y”与其对应，“x”可以遍取自变量范围内的任意值。也有人把“f( )”比喻成一台“机器”，输入不同的原料“x”，就可得到相应的产品“y”，机器不变，原料和产品则可能千变万化。（二），复合函数在函数表达式“y=f(x)”中，自变量“x”的取值不仅可以是数字，也可以是代表具体数值的字母，甚至可以是一个符合条件的表达式。一旦“x”所代表的变量换成为另
3、外一个符合条件的函数式，就会得到一个复合函数。这样就把复合函数统一到了函数概念当中。认识到这点对于后面学习掌握复合函数求导法和凑微分法求积分是非常有帮助的。这点可以通过求函数值的练习时让自变量分别取常数、字母和代数式来潜移默化地让学生认识和理解。把几个函数基本初等函数复合成复合函数、把复合函数分解为简单的基本初等函数的练习也有助于学生深入理解函数和复合函数的概念及二者间的关系。（三），导函数和变限积分函数这两个概念与前述的函数概念也没有本质区别，其中导函数只是与自变量对应的因变量变成某个函数的导数值而已。而变限积分函数则是自变量变为定积分的上下限，而函数值是一些定积分值，即极限值。因此它们也都
4、可以统一到函数的概念之中。有了这些理解，二阶和高阶导数的定义、计算以及其他相关问题也就可以迎刃而解。比如二阶导数，从求导的角度看，实际上就是被求导的函数变成某一个函数的导函数而已，这与复合函数是自变量变成另外一个函数式如出一辙。（四）反函数及其图像反函数是由于自变量与因变量的相对性而引入的，体现了变量“x”的另一种特殊变化。本来函数y=f(x)的反函数应该是x=f -1(y)，但因为通常大家都习惯于用“x”表示自变量，用“y表”示因变量，而函数是否相同与自变量、因变量分别用什么字母表示无关，所以才写为y=f -1(x)，也只有在这样交换后反函数的图像才与原函数的图像关于直线“y=x”对称，否则
5、二者应该是重合的。二、对数学公式的理解和掌握公式是数学课程知识体系重要组成部分，是解决数学问题的重要手段，但是很多学生在学习数学公式的时候往往流于死记硬背，不能深刻掌握和灵活运用，我们老师就要引导学生掌握公式的内在实质，以便在解决实际问题时可以举一反三。何谓“公式”？所谓“公”者，可以广泛甚至普遍运用也。那么怎样来体现这个“公”字呢？用字母代表数这一重要数学思想的目的之一就是为了体现数学概念和公式的普适性，公式中的字母具有广泛的代表性。因此对公式最根本的是要记住其结构，理解其意义，不能把重点放在字母上，尤其不能死板理解这些字母，而要把它们看成和上述函数式中的“x”一样是“活”的，是可以变化的。
6、从下面几个例子就可以看出常用公式中的字母“x”可以用来包容或代替很多不确定、不规则的东西，具有极强的同化能力：（一），两个重要极限公式： 这两个公式都可以这样理解：每个式中的3个“x”同步变换为满足条件的相同代数式后公式仍然成立。即可以把3个“x”都变换为符合要求的式子“f（x）”： 但是，公式中的其他部分不能变：等式右边极限值为“1”或“e”一般无需强调，但前式要注意变量“x”或“f（x）”必须趋向于“0”，分母、分子必须分别是这变量和其正弦，；后式中除了自变量趋于无穷大外，括号内的两个常数“1”和加号“+”等表征公式结构的要素也不能改变，若在解题时遇到不一致的情况就要先把那些导致不一致的项
7、想办法通过恒等变形化到分母中那个“x”里面，把这些位置化为与公式完全一致。如： =这就是也可以用做公式的，而且这里面的3个“x”也同样可以变换为符合条件的相同代数式。自变量的趋向变化在实际解题时通常可不改写，但必须要考察式子变形后其是否满足公式条件的要求。（二），等价无限小代换公式：同样道理，对于等价无穷小：当x0时：ex1x ；ln（1+x）x ；1cosx；等等。包括条件在内，每个式子涉及的3个“x”也可以分别用3个相同的式子同步代换，即：当f(x) 0时：ef(x)1f(x) 当g(x) 0时：ln1+g(x)g(x) 当(x) 0时：1cos(x) （三），求导和微分公式严格来说导数公
8、式中应该标出对哪个变量求导，正如等价无穷小必须先指明在哪个变量有怎样的变化趋势时两个式子才是等价无穷小。但是通常都是默认为对“x”求导，所以教材和大多数老师为了印刷和书写简单都忽略了，这对学生完整理解和掌握这些公式是不利的。例如：(sinx)=cosx 严格说应该写为：=cosx 或 (sinx)x=cosx 最后一个式子中的下角标“x”就是说明对变量“x”求导。类似地，(ax)= axlna 应该写为 axlna 或 (ax)x= axlna (tanx)sec2x 应该写为 =sec2x 或 (tanx)x=sec2x 也就是说公式中实际上也包含着3个而不是2个“x”，如果把这3个“x”同
9、时换成相同的其他式子，公式仍然成立，当然公式的其他地方都不能变。如：=cos2x 或 (sin2x)2x=cos2x = a3x+1lna 或 (a3x+1)3x+1= a3x+1lna=sec2(lnx) 或 tan(lnx)lnx=sec2(lnx) 上述“2x”，“3x+1”，“lnx”也可以是符合条件的其他函数式，当然也可以一律用“f(x)”代替。有了这层理解对于灵活套用公式，解决复合函数求导的问题就简单多了。(四)，积分公式针对不定积分是求导的逆运算，我们可以借助上述思想由求导公式把不定积分公式一一推导出来，例如：由(xu)uxu-1，可以得出：uxu-1dx= xu+C但我们为了应
10、用方便通常需要把左边的积分函数化为基本初等函数或其他简单代数式，所以可以进行以下变化：把指数“u-1”用“u”来代换，相应地“u”就要变成“u+1”,把系数“u+1”提出移到公式右边就变成基本初等函数的积分公式： xudx= xu+1C类似地，其他公式也可以通过这种交换和代换得到。同时，这些积分公式中的3个“x”也应该理解为是可以同步变化成其他式子而保持公式的成立，即：cosxdx=sinx+C 也可以写成cos(x)d(x)=sin(x)+Cexdx=ex+C也可以写成：ef(x)df(x)=ef(x)+Cdx= arctanx 也可以理解为 dg(x)arctan g(x)C其他公式以及凑
11、微分公式和分部积分公式也可以类似理解。三、在习题的应用（一）求极限1，两个重要公式求极限为了套用公式，需要把所要求极限的函数式进行恒等变形使其结构形式与公式原型相同，例如应用公式一：=3也就是要根据题目中的正弦函数表达式中sin后面的式子“f(x)”，在保持恒等的前提下把分母也变成“f(x)”，如上式中的“3x”。同时看“f(x)”的变化趋势是否趋于0，然后把多余的系数提取出来应用公式。对于公式二，则首先要保证要求极限的函数式中两个“1”和“”号的位置与公式保持完全一致，若有不同就要通过恒等变形变为相同，同时把导致不同的因素化到括号里面那个“x”中，得到一个含“x”的代数式“f(x)”，指数部
12、分先写出一个与这个“f(x)”相同的式子，然后乘以一个合适的系数以保持恒等。如：在这里，显然当“x”时也有“-”成立，故第二步极限符号下面也可以保留“x”，但心里应该明白其实这里应该是“。2、等价无穷小代换求极限应用时特别注意代换的条件是相应的代数式是某个变量趋于零时的无穷小。共涉及3个变量或者函数式，而不是2个。虽然有的没有写出来，但必须意识到。如： (x0时，3x0，sin2x0)这里特别要注意，进行无穷小代换的时候，如果分子分母有多项式的话，必须作为一个整体进行代换，不能逐项代换，如最后一个式子的分子不能直接等价代换为“xx”。 （二）导数与微分1，高阶导数把函数f(x)一次求导得到的导
13、函数g(x)再进行一次求导得到函数(x)，则(x)是g(x)的一阶导数，是f(x)的二阶导数。因此题目：已知f(n-1)(x)=x3+ekx ，求f(n+1)(x)其实就是求函数的二阶导数，即：f(n)(x)= f(n-1)(x)=(x3+ekx)=3x2+kekxf(n+1)(x)= f(n)(x)=(3x2+kekx)=6x+k2ekx类似，其他高阶函数就是多次求导即可。2，复合函数求导如果求复合函数对中间变量的导数，就可以直接套用公式，如：ln(5x)5x= 即 （对“5x”求导）= sec(x2)tan(x2) 即 sec(x2)tan(x2) （对“x2”求导）但是我们更多的是要求函
14、数对自变量“x”的导数，如求（sin2x）x，即此时我们不妨做如下变化：=cos2x2=2cos2x亦即：(sin2x)x=(sin2x)2x(2x)x=2cos2x一般地就有，对于有y=f(u)和u=(x)构成的复合函数y=f(x)对x的导数： 或 f(x)=fu(u)x(x)因此，所谓复合函数求导就是为了套用基本求导公式，把中间变量代数式视为一个整体作为自变量求导，再乘以这个中间变量对x的导数。对于多重复合的函数，依次运用这个思路，逐层从外向内“扒皮”就可以得到最终结果。这种思路可以叫做“化零为整”，本文第一大部分分析复合函数可以看做是一个函数的自变量被另外一个函数式代换得到的可以叫做“化
15、整为零”，二者是虽然方向相反，但本质上是相同的思维方式，都是整体思想的一种应用。3，隐函数求导与取对数求导法隐函数求导的一个关键就是要意识到式中的 “y”是一个函数式“y(x)”，因此两边求导时，凡是含有“y”的式子都要当成中间变量为“y”的复合函数，应用复合函数求导法，先把式子对“y”求导再乘以“y”对“x”的导数“yx”。而取对数求导法取对数之后式子就变成了隐函数，最终也要归结为复合函数求导，都要应用上述思路。（三）积分1、第一换元积分法即凑微分法，其实就是复合函数求导法的逆运算，基本思路也是为了应用基本积分公式，依据公式中字母“x”的可变性，把被积表达式通过恒等变形转化成与公式结构一致的形式，例如：就是为了应用公式cosxdx=sinx+C 或者说cos(x)d(x)=si
