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1、数列的极限 教学设计西南位育中学 肖添忆一、 教材分析数列的极限为沪教版第七章第七节第一课时内容，是一节概念课。极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为极限理论是微积分学中的基础理论，它的产生建立了有限与无限、常量数学与变量数学之间的桥梁，从而弥补和完善了微积分在理论上的欠缺。本节后续内容如：数列极限的运算法则、无穷等比数列各项和的求解也要用到数列极限的运算与性质来推导，所以极限概念的掌握至关重要。课本在内容展开时，以观察时无穷等比数列的发展趋势为出发点，结合数列与的发展趋势，从特殊到一般地给出数列极限的描述性定义。在由定义给出两个常用极限。但引入部分的表述如“无限趋近于0，但它永远不会
2、成为0”、“不管n取值有多大，点（n，an）始终在横轴的上方”可能会造成学生对“无限趋近”的理解偏差。二、 学情分析通过第七章前半部分的学习，学生已经掌握了数列的有关概念，以及研究一些特殊数列的方法。但对于学生来说，数列极限是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡的阶段。由于已有的学习经验与不当的推理类比，学生在理解“极限”、“无限趋近”时可能产生偏差，比如认为极限代表着一种无法逾越的程度，或是近似值。这与数学中“极限”的含义相差甚远。在学习数列极限之前，又曾多次利用“无限趋近”描述反比例函数、指数函数、对数函数的图像特征，这又与数列中“无限趋近”的含义有所差异，
3、学生往往会因为常数列能达到某一个常数而否定常数列存在极限的事实。三、 教学目标与重难点教学目标：1、 通过数列极限发展史的介绍，感受数学知识的形成与发展，更好地把握极限概念的来龙去脉；2、 经历极限定义在漫长时期内发展的过程，体会数学家们从概念发现到完善所作出的努力，从数列的变化趋势，正确理解数列极限的概念和描述性定义；3、 会根据数列极限的意义，由数列的通项公式来考察数列的极限；掌握三个常用极限。教学重点：理解数列极限的概念教学难点：正确理解数列极限的描述性定义四、教学策略分析在问题引入时着重突出“万世不竭”与“讲台可以走到”在认知上的矛盾，激发学生的学习兴趣与求知欲，并由此引出本节课的学习
4、内容。在极限概念形成时，结合极限概念的发展史展开教学，让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的。数学的历史发展过程与学生的认知过程有着一定的相似性，学生在某些概念上的进展有时与数学史上的概念进展平行。比如部分学生的想法与许多古希腊的数学家一样，认为无限扩大的正多边形不会与圆周重合，它的周长始终小于其外接圆的周长。教师通过梳理极限发展史上的代表性观点，介绍概念的发展历程以及前人对此的一系列观点，能帮助学生发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。对数学发现的过程以认知角度加以分析，有助于学生学习数学家的思维方式，了解数学概念的发展，进而建构推理过程，使学生发生概念转变。在课堂练
5、习诊断部分，不但要求回答问题，还需对选择原因进行辨析，进而强化概念的正确理解。五、教学过程提纲与设计意图1.问题引入让一名学生从距离讲台一米处朝讲台走动，每次都移动距讲台距离的一半，在黑板上写出表示学生到讲台距离的数列。这名学生是否能走到讲台呢？类比“一尺之捶,日取其半,万世不竭”，庄子认为这样的过程是永远不会完结的，然而“讲台永远走不到”这一结果显然与事实不同，要回答这一矛盾，让我们看看历史上的数学家们是如何思考的。【设计意图】改编自芝诺悖论的引入问题，与庄子的“一尺之捶”产生了认知冲突，激发学生的学习兴趣与求知欲，并引出本节课的学习内容2. 极限概念的发展与完善极限概念的发展经历了三个阶段
6、：从早期以“割圆术”“穷竭法”为代表的朴素极限思想，到极限概念被提出后因“无穷小量是否为0”的争论而引发的质疑，再经由柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作以及实数理论的形成，严格的极限理论至此才真正建立。【设计意图】教师引导学生梳理极限发展史上的代表性观点，了解数学家们提出观点的时代背景，对照反思自己的想法，发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。教师在比较概念发展史上被否定的观点与现今数学界认可的观点时，会使学生产生认知冲突。从而可能使学生发生概念转变，抛弃不正确的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在数学教学中，结合数学史展开教学可以让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的，
7、从而提升学生概念转变的动机。3. 数列极限的概念极限思想的产生最早可追溯于中国古代。极限理论的完善出于社会实践的需要，不是哪一名数学家苦思冥想得出，而是几代人奋斗的结果。极限的严格定义经历了相当漫长的时期才得以完善，它是人类智慧高度文明的体现，反映了数学发展的辩证规律。今天的主题，极限的定义，援引的便是柯西对于极限的阐述。定义：在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列的极限，或叫做数列收敛于A，记作，读作“n趋向于无穷大时，的极限等于A”。在数列极限的定义中，可用|-A|无限趋近于0来描述无限趋近于A。如前阐述，柯西版本的极限定义虽然不是最完美的，但作为摆
8、脱几何直观的首次尝试，也是历史上一个较为成功的版本，在历史上的地位颇高。有时，我们也称其为数列极限的描述性定义。 【设计意图】通过比较历史上不同观点下的极限定义，教师呈现数列极限的描述性定义，分析该定义的历史意义，让学生进一步明确数列极限的含义。4. 课堂练习诊断由数列极限的定义得到三个常用数列的极限:(1)(C为常数)；(2)；(3)当|q|1时，.练习判断下列数列是否存在极限，若存在求出其极限，若不存在请说明理由（1） ；（2） ；（3）（4）（5）注：（1）、（2）考察三个常用极限（3）考查学生是否能清楚认识到数列极限概念是基于无穷项数列的背景下探讨的。当项数无限增大时，数列的项若无限趋
9、近于一个常数，则认为数列的极限存在。因此，数列极限可以看作是数列的一种趋于稳定的发展趋势。有穷数列的项数是有限的，因而并不存在极限这个概念。（4）引用柯西的观点，解释此处无限趋近的含义，是指随着数列项数的增加，数列的项与某一常数要多接近就有多接近，由此得出结论：数列极限与前有限项无关且无穷常数数列存在极限的。（5）扩充对三种趋近方式的理解：小于A趋近、大于A趋近和摆动趋近。本题中的数列没有呈现出以上三种方式的任意一种。避免学生将趋近误解为项数与常数间的差距不断缩小。练习若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+.，则以下对A的描述正确的是_.A、A是小于1的最大正数 B、A的精确值为1
10、C、A的近似值为1选择此选项的原因是_由于A的小数位都是 9，找不到比A大但比1小的数；A是由无限多个正数的和组成，它们可以一直不断得加下去，但总小于 2； A表示的数是数列0.9，0.99，0.999，0.9999，.的极限； 1与A的差等于 01。注：此题是为考查学生对于无穷小量和极限概念的理解。由极限概念的发展史可以看出，数学家们曾长时期陷入对无穷小概念理解的误区中，极大地阻碍了对极限概念的理解。学生学习极限概念时可能也会遇到类似的误区。练习顺次连接ABC各边中点A1、B1、C1，得到A1B1C1。取A1B1C1各边中点 A2、B2、C2并顺次连接又得到一个新三角形A2B2C2。再按上述
11、方法一直进行下去，那么最终得到的图形是_.A、一个点 B、一个三角形 C、不确定 选择此选项的原因是_. 无限次操作后所得三角形的面积无限趋近于 0 但不可能等于 0。 当操作一定次数后，三角形的三点会重合。 该项操作可以无限多次进行下去，因而总能作出类似的三角形。 无限次操作后所得三角形的三个顶点会趋向于一点。 注：此题从无限观的角度考察学生对极限概念的的理解。学生容易忽视极限概念中的实无限，他们在视觉上采用无穷叠加的形式，但是会受最后一项的惯性思维，导致采用潜无限的思辨方式。所谓实无限是指把无限的整体本身作为一个现成的单位，是可以自我完成的过程或无穷整体。相对地，潜无限是指把无限看作永远在
12、延伸着的，一种变化着成长着不断产生出来的东西。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的。持有潜无限观点的学生在理解极限概念时，会将极限理解为是一个渐进过程，或是一个不可达到的极值。通过习题，分析总结以下三个注意点：（1） 数列有极限必须是一个无穷数列，但无穷数列不一定有极限存在；（2） “无限趋近”不能用“越来越接近”代替，例如数列可以说随着n的无限增大，数列的项与-1会越来越接近，但这种接近不是无限趋近，所以不能说；（3） 数列趋向极限A的过程可有多种呈现形式。【设计意图】通过例题与选项原因的分析，消除关于数列极限理解的三类误区：第一类是将数列极限等同于如下的三种概念：渐近线、最大限度或是近似值。第二类是学生对于数列趋向于极限方式的错误认知。第三类是对于无限的错误认知。极限的描述性定义与注意点三个常用的极限6.作业布置1任课老师布置的其他作业2学习魏尔斯特拉斯的数列极限定义，并用该定义证明习题的第一第二小问【设计意图】通过与数列极限相关的延伸问题，完善极限概念的体系，为学生创设课后自主探究平台，感受静态定义中凝结的数学家的智慧。
