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1、一、高考数列求通项公式模型【简便记忆】模型特征求解方法a , a , a , a1234 .七给出数列的前几项归纳法a = a + f (n)aa系数相同，作差，f (n)是关于n的函数累加法a = f (n)aa+a系数相同，作商，f(n)是关于n分式型的函数累乘法a = pa + qa+a系数不同，q为常数构造法(待定系数)paa nn+1 a + q分式型递推公式，分子只有一项构造法(倒数变换)已知前数列前n项和Sn求a.已知前数列前n项和Sn求。妙公式法变异类型观察特征，寻找规律，化为常规类型多种方法综合运用高考数列求通项公式【详细解读】1. 【归纳法】适用于：列举法给出的数列模型即3
2、 a2 a a；.；【模型特征】：给出数列的前几项，通过归纳、猜想、找规律。(D相邻项的特征(2)分式中分子、分母的特征【求解方法】根据()拆项后的特征(4)各项的序号与项之间的变与不变特征例1. 根据数列前几项，写出下列各数列的一个通项公式。(1) 1, 7,13, 19, 七(2) 0.8, 0.88, 0.888, ；1 15 1329 61(3) 二，二，一， ，, , , ;2 4 8 16 32 64点评：该法属于不完全归纳法，仅用来解选择、填空题，对于大题，用此法还要用数学归纳法进 行证明，另外求得的通项公式一定要代值检验，以防出错。2. 【累加法】适用于：七广气+ f (n)模
3、型(先累后求和)【模型特征】：。仲、气系数相同，作差，f (n)是关于n的函数。f (n) = pn + q(一次型)n等差求和f (n) = pn2 + qn + r(二次型)n分组求和【求解方法】化为1 -an+1 n=f (n) f (n) = pq2 + r(指数型)n等比求和f (n) = 一1一 (分式型)n裂项求和n(n +1)例2.已知数列aj满足a+1 =七+ 2n +1,彳=1,求数列aj的通项公式。(一次型)答案：等差求和a = n n例3.已知数列aj满足an+1 = an + 2x3 +1, 4= 3，求数列aj的通项公式。(指数型)答案：等比求和a = 3n + n
4、 -1练习1.已知数列a 的首项为1,且写a +1 = a + 2n(n e N*)出数列a 的通项公式.(一次型)答案：等差求和a” = n2 - n +1练习2.已知数列an满足a = 3 , a = a + 1 (n 2),求此数列的通项公式.1n n-1 n(n 1)c 1答案：裂项求和a = 2-一n n3.【累乘法】 适用于：an+1 = f (n)an模型(先累后求商)【模型特征】。仲、a,系数相同，作商，f (n)是关于n分式型的函数。【求解方法】化为泰 =f (n)，先累然后两边分别相乘，分子分母约分的解。 an例4,已知数列a 满足a =； , a = -a，求a。n1 3
5、n+1 n + 1 n n2答案：累乘a =n 3n4【构造法】 【待定系数构造等比型】适用于an+1 = pan + q模型【模型特征】。仲、a系数不同，q为常数【求解方法】基本思路用待定系数法an+1 + X = pq +人)，比较系数，求得X = p1,(p丰0)通过构造，转化为等比数列当匚 = P，从而获解。a +人例5已知数列aj中ai = 1，气=2a 1(n - 2)，求数列的通项公式。n-1答案：a = 2n -1练习.已知数列an中a = 2, a+ 2,求通项a”。 答案：。广(?)n-1 +1【倒数变换构造等差(比)型】适用于a =苴_模型 n+1 a + q【模型特征】
6、用于分式关系的递推公式，分子只有一项【求解方法】先求倒数，进而构造得到关于倒数的等差或等比求解。,、2a -, 、2例6已知数列a 满足a =,a = 1,求数列a 的通项公式。答案：a =- nn+1 a + 2 1nn n +15.【公式法】(适合任何数列) 【模型特征】已知前数列前n项和S求a。nnIS n= 1求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时结果一定要合并。(1)n,n 1 .求数列E 的通项公式。【求解方法】利用公式a = nn S S n Z 2nn1例7 .已知数列b 的前n项和S满足S = 2a +nnnnn2经验证a1 = 1也满足上式，所以a = 3 2n -2 +
7、 (1)n-1 练一练：已知a 的前n项和满足log (S +1) = n +1,求a ；n2 nn数列a 满足 a1 = 4, S + S +1 = 5 a +1，求 a ；三.变异类型举例:1. 形如 a+ a = f (n )型n+1n(1) 若an+1 + an = d (d为常数)，则数列a为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论；(2) 若f(n)为n的函数(非常数)时，可通过构造转化为an+1 - o” = f (n)型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得a +1 - a 1 = f (n) f (n -1)，分奇偶项来分求通项.2. 方程配对作差型
