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1、 专题升级训练 数形结合思想 (时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3,那么的最大值为() A.B.C.D.2.设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为()A.1B.3C.4D.123.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2B.3C.D.4.已知函数f(x)=x3-x2-x,则f(-a2)与f(4)的大小关系为()A.f(-a2)f(4)来源:B.f(-a2)f(4)C.f(-a2)f(4)D.f(-a2)与
2、f(4)的大小关系不确定5.设ab0)的焦距为2c,以点O为圆心,a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为.9.函数f()=的最大值为.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)已知关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大,求实数m的取值范围.11.(本小题满分15分)已知A(1,1)为椭圆=1内一点,F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点,求|PF1|+|PA|的最大值和最小值.来源:12.(本小题满分16分)已知平面向量a=,b=,且存在实数x,y,使得m=
3、a+(x2-3)b,n=-ya+xb且mn.(1)求y=f(x)的关系式;(2)已知kR,讨论关于x的方程f(x)-k=0的实根个数.#一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.D解析:设k=,即y=kx,如图所示,kOB=tanOOB=,kOA=-tanOOA=-=-,且kOAkkOB,来源:kmax=.2.A解析:=1+,而表示点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a0,作出可行域如图所示,由题知的最小值是,即a=1,来源:选A.3.A解析:记抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),注意到直线l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,于是抛物线y2=4x上的动点P到直线
4、l2的距离等于|PF|,问题即转化为求抛物线y2=4x上的动点P到直线l1:4x-3y+6=0的距离与它到焦点F(1,0)的距离之和的最小值,结合图形,可知,该最小值等于焦点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即等于=2,故选A.4.A解析:f(x)=x3-x2-x,f(x)=x2-2x-.由f(x)=(3x-7)(x+1)=0得x=-1或x=.当x-1时,f(x)为增函数;当-1x时,f(x)为增函数,计算可得f(-1)=f(4)=2,f(0)=0,又-a20,由图象可知f(-a2)f(4).5.C解析:由ab,y=(x-a)2(x-b)知x(-,a)a(a,b)b(b,+)y
5、-0-0+故选C.6.B解析:由约束条件作出其可行域如图所示:由图可知当直线x=m经过函数y=2x的图象与直线x+y-3=0的交点P时取得最大值,即得2x=3-x,即x=1=m.二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.(-,-31,+)解析:数形结合法.由kPA=-3,kPB=1,如图得直线l的斜率k的取值范围是(-,-31,+).8.解析:设切点为A,B,如图所示,切线PA,PB互相垂直,又半径OA垂直于AP,所以OPA为等腰直角三角形.可得a=,所以e=.9.1解析:可以与两点连线的斜率联系起来,它实际上是点P(cos ,sin )与点A(-,0)连线的斜率,而点P(cos
6、,sin )在单位圆上移动,问题变为:求单位圆上的点与A(-,0)连线斜率的最大值.如图,显然,当P点移动到B点(此时,AB与圆相切)时,AP的斜率最大,最大值为tanBAO=1.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.解:法一:设方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根分别为x1,x2,由题意知由解得-3m0.即实数m的取值范围是m|-3m0.解法二:设f(x)=(m+3)x2-4mx+2m-1.由题意知解得-3m0.即实数m的取值范围为m|-3m0.11.解:由=1可知a=3,b=,c=2,左焦点F1(-2,0),右焦点F2(2,0)
7、.由椭圆定义,|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|,|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|.如图,由|PA|-|PF2|AF2|=,知-|PA|-|PF2|.当P在AF2的延长线上的P2处时,取右“=”;当P在AF2的反向延长线的P1处时,取左“=”,即|PA|-|PF2|的最大、最小值分别为,-.于是|PF1|+|PA|的最大值是6+,最小值是6-.12.解:(1)ab=0,|a|=,|b|=1.因为mn,所以mn=0,即a+(x2-3)b(-ya+xb)=0,化简整理得y=x3-x,即f(x)=x3-x.(2)方程f(x)-k=0实根个数由两函数y=f(x),y=k的图象交点个数确定.由f(x)=x2-1=(x-1)(x+1)知:f(x)在(-,-1)及(1,+)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,极大值f(-1)=,极小值f(1)=-.作y=f(x)和y=k的图象如图,知当k时,两图象有一个交点,原方程有一个实根;当k=时,原方程有两个实根;当-k时,原方程有三个实根.
