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1、新编高考数学复习资料第7讲抛物线基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1(2013四川卷)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.解析抛物线y24x的焦点F(1,0),双曲线x21的渐近线方程是yx,即xy0,故所求距离为.选B.答案B2(2014济宁模拟)已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切,则p的值为()A1 B2 C. D4解析圆的标准方程为(x3)2y216,圆心为(3,0),半径为4.圆心到准线的距离为34,解得p2.答案B3点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是()Ay12x2 By12x
2、2或y36x2Cy36x2 Dyx2或yx2解析分两类a0,a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点若双曲线的离心率为2,AOB的面积为,则p()A1 B. C2 D3解析由已知得双曲线离心率e2,得c24a2,b2c2a23a2,即ba.又双曲线的渐近线方程为yxx,抛物线的准线方程为x,所以不妨令A,B,于是|AB|p.由AOB的面积为可得p,所以p24,解得p2或p2(舍去)答案C二、填空题6若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程是_解析由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离,故点P的轨迹是以
3、点(0,3)为焦点,以y3为准线的抛物线,且p6,所以其标准方程为x212y.答案x212y7已知抛物线y24x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|4,则点M的横坐标x0_.解析抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线为x1.根据抛物线的定义,点M到准线的距离为4,则M的横坐标为3.答案38抛物线x22py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p_.解析如图,在等边三角形ABF中,DFp,BDp,B点坐标为.又点B在双曲线上,故1.解得p6.答案6三、解答题9已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离为5,求抛物线的方
4、程和m的值解法一根据已知条件,抛物线方程可设为y22px(p0),则焦点F.点M(3,m)在抛物线上,且|MF|5,故解得 或抛物线方程为y28x,m2.法二设抛物线方程为y22px(p0),则准线方程为x,由抛物线定义,M点到焦点的距离等于M点到准线的距离,所以有(3)5,p4.所求抛物线方程为y28x,又点M(3,m)在抛物线上,故m2(8)(3),m2.10设抛物线C:y24x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点(1)设l的斜率为1,求|AB|的大小;(2)求证:是一个定值(1)解由题意可知抛物线的焦点F为(1,0),准线方程为x1,直线l的方程为yx1,设A(x1,y1),
5、B(x2,y2),由得x26x10,x1x26,由直线l过焦点,则|AB|AF|BF|x1x228.(2)证明设直线l的方程为xky1,由得y24ky40.y1y24k,y1y24,(x1,y1),(x2,y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.是一个定值能力提升题组(建议用时:25分钟)一、选择题1已知双曲线C1:1(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析1的离心率为2,2,即4,.x22py的焦
6、点坐标为,1的渐近线方程为yx,即yx.由题意,得2,p8.故C2:x216y,选D.答案D2(2014洛阳统考)已知P是抛物线y24x上一动点,则点P到直线l:2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B. C2 D.1解析由题意知,抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d|PF|的最小值为,所以d|PF|1的最小值为1.答案D二、填空题3(2014郑州二模)已知椭圆C:1的右焦点为F,抛物线y24x的焦点为F,准线为l,P
7、为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线AF的倾斜角为120,那么|PF|_.解析抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x1.因为直线AF的倾斜角为120,所以tan 120,所以yA2.因为PAl,所以yPyA2,代入y24x,得xA3,所以|PF|PA|3(1)4.答案4三、解答题4(2013辽宁卷)如图,抛物线C1:x24y,C2:x22py(p0)点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)当x01时,切线MA的斜率为.(1)求p的值;(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O)解(1)因为抛物线C1:x24y上任意一点(x,y)的切线斜率为y,且切线MA的斜率为,所以A点坐标为,故切线MA的方程为y(x1).因为点M(1,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0(2),y0.由得p2.(2)设N(x,y),A,B,x1x2,由N为线段AB中点知x.y.切线MA,MB的方程为y(xx1),y(xx2).由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0,y0.因为点M(x0,y0)在C2上,即x4y0,所以x1x2.由得x2y,x0.当x1x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2y.因此AB中点N的轨迹方程为x2y.