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1、新编高考数学复习资料第7讲抛物线基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1(2013四川卷)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，双曲线x21的渐近线方程是yx，即xy0，故所求距离为.选B.答案B2(2014济宁模拟)已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p的值为()A1 B2 C. D4解析圆的标准方程为(x3)2y216，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为34，解得p2.答案B3点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2 By12x
2、2或y36x2Cy36x2 Dyx2或yx2解析分两类a0，a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B. C2 D3解析由已知得双曲线离心率e2，得c24a2，b2c2a23a2，即ba.又双曲线的渐近线方程为yxx，抛物线的准线方程为x，所以不妨令A，B，于是|AB|p.由AOB的面积为可得p，所以p24，解得p2或p2(舍去)答案C二、填空题6若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_解析由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以
3、点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.答案x212y7已知抛物线y24x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|4，则点M的横坐标x0_.解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案38抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析如图，在等边三角形ABF中，DFp，BDp，B点坐标为.又点B在双曲线上，故1.解得p6.答案6三、解答题9已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方
4、程和m的值解法一根据已知条件，抛物线方程可设为y22px(p0)，则焦点F.点M(3，m)在抛物线上，且|MF|5，故解得 或抛物线方程为y28x，m2.法二设抛物线方程为y22px(p0)，则准线方程为x，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有(3)5，p4.所求抛物线方程为y28x，又点M(3，m)在抛物线上，故m2(8)(3)，m2.10设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值(1)解由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x1，直线l的方程为yx1，设A(x1，y1)，
5、B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，由直线l过焦点，则|AB|AF|BF|x1x228.(2)证明设直线l的方程为xky1，由得y24ky40.y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.是一个定值能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析1的离心率为2，2，即4，.x22py的焦
6、点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意，得2，p8.故C2：x216y，选D.答案D2(2014洛阳统考)已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B. C2 D.1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.答案D二、填空题3(2014郑州二模)已知椭圆C：1的右焦点为F，抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P
7、为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的倾斜角为120，那么|PF|_.解析抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x1.因为直线AF的倾斜角为120，所以tan 120，所以yA2.因为PAl，所以yPyA2，代入y24x，得xA3，所以|PF|PA|3(1)4.答案4三、解答题4(2013辽宁卷)如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)解(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y(x1).因为点M(1，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x.y.切线MA，MB的方程为y(xx1)，y(xx2).由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0，y0.因为点M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2.由得x2y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2y.因此AB中点N的轨迹方程为x2y.
