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1、2.3幂函数1幂函数的概念一般地，形如yx (R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数幂函数的特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；(2)x前的系数为1，项数只有1项要注意幂函数与指数函数yax (a0，且a1)的区别，这里底数a为常数，指数为变量2五个具体幂函数的图象与性质当1,2,3，1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下：(1)在区间(0，)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；(2)如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数；(3)如果0(1)时的图象是抛物线型，1时
2、的图象是竖直抛物线型，01时的图象是横卧抛物线型，0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当1时，yx1在区间(，0)和(0，)上是减函数，但它在定义域上不是减函数答案C 题型二幂函数定义及性质的应用已知幂函数f(x)(t3t1)x(73t2t2) (tZ)是偶函数且在(0，)上为增函数，求实数t的值分析关于幂函数yx (R，0)的奇偶性问题，设 (|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，yx是非奇非偶函数；当q是奇数时，yx的奇偶性与p的值相对应解f(x)是幂函数，t3t11，t1,1或0.当t0时，f(x)x是奇函数；当t1时，f(x)x是偶函数；当t1时，f(
3、x)x是偶函数，且和都大于0，在(0，)上为增函数故t1且f(x)x或t1且f(x)x.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件tZ给予足够的重视 题型三幂函数的图象如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A-1n0m1Bn1,0m1C1n1 Dn1解析在(0,1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，0m1，nx，求x的取值范围错解由于x20，xR，则由x2x，可得xR.错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是yx在1和01两种情况下图象的分布正解作出函数y=x2和y=的图象(如右图所示)，易得x1.幂函数在
4、高考中几进几出，在课改实验区是高考的一个考点主要考查五种具体幂函数的图象和性质，以客观题形式出现，属于试卷中的容易题(山东高考)设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为()A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3解析根据幂函数的定义和性质易得x1,3时，定义域为R且为奇函数答案A1在函数y，y2x2，yx2x，y1 (x0)中幂函数的个数为()A1B0C2D3答案C解析依据幂函数的定义判定，应选C.2幂函数f(x)的图象过点，那么f(8)的值为()A2 B64 C. D.答案C解析设f(x)x (为常数)，将点代入得4，f(x)x，f(8)8.3如果幂函数y(m23m3)xm2m2的
5、图象，不过原点，则m的取值是()A1m2 Bm1或m2Cm2 Dm1答案B解析据幂函数的定义，知m23m31，所以m1，m2.又图象不过原点，所以m2m20，经验证，m1，m2均适合4下列函数中，值域为0，)的函数是()Ay2x Byx2Cyx2 Dylogax (a0，且a1)答案B解析根据函数图象，选B.5若幂函数yf(x)的图象经过点(2，)，则f(25)的值是_答案5解析设yx，点(2，)在yx的图象上，2，f(x)x.故f(25)255.6幂函数yx (R)的图象一定不经过第_象限答案四7把下列各数2，3，0，按由小到大的排列顺序为_答案302.8已知幂函数f(x)x，若f(a1)f
6、(102a)，则a的取值范围是_答案3a0)，由图象知x(0，)时为减函数，又f(a1)f(102a)，得3a5.9在图中，只画出了函数图象的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据解对于y=x-1为奇函数，其图象关于原点对称，可画出另一半，如图(1)；对于y=-x3为奇函数，其图象关于原点对称，可画出另一半，如图(2)；对于y=x2+1和y=-x都为偶函数，其图象都关于y轴对称，可画出另一半，如图(3)(4)10已知f(x)(m22m)xm2m1，m是何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数解(1)若f(x)为正比例函数，则，m1.(2)若f(x
7、)为反比例函数，则，m1.(3)若f(x)为二次函数，则，m.(4)若f(x)为幂函数，则m22m1，m1。 学习目标1掌握幂函数的概念2熟悉1,2,3，1时幂函数yx的图象与性质3能利用幂函数的性质来解决一些实际问题 预习自测1一般地，幂函数的表达式为yx；其特征是以幂的底数为自变量，指数为常数2幂函数的图象yxyx2yx3yxyx1定义域值域奇偶性单调性定点在同一坐标系中，幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象如图结合图象，填写上表答如图所示y=xy=x2y=x3y=xy=x定义域RRR0，+)(-，0)(0，+)值域 R0，+)R0，+)(-，0)(0，+)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
8、单调性 增0，+)(-，0增增(0，+)(-，0)定点 (0,0)，(1,1)(0,0)，(1,1)(0,0)，(1,1)(0,0)，(1,1)(1,1) 一、理解幂函数的概念例1函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.解根据幂函数定义得m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故f(x)x3.点评幂函数yx (R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数(也可以为0)
9、这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根变式迁移1已知y(m22m2)x2n3是幂函数，求m，n的值解由题意得，解得，所以m3，n. 二、幂函数单调性的应用例2比较下列各组数的大小(1) 3与3.1；(2)8与.分析比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法解(1)函数yx在(0，)上为减函数，又33.1.(2)8，函数yx在(0，)上为增函数，又，则，从而8，11,03.811，(1.9)0，所以(1.9)3.8(4.1). 三、幂函数性质的综合应用 例3已知幂函数yx3m9 (mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上函数值随x的增大而减小，求满足(a1)(32a)的a的范围解函数在(0，)上递减，3m90，解得m3，又mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，故m1，有(a1)32a0或0a132a或a1032a，解得a或a1.点评(1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义(2)幂函数yx，由于的值不同，单调性和奇偶性也就不同变式迁移3已知幂函数yxm22m3 (mZ)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象
