《《坐标系与参数方程》全章复习与巩固》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《坐标系与参数方程》全章复习与巩固（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上44.4坐标系与参数方程全章复习与巩固【学习目标】1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4. 了解参数方程，了解参数的意义.5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.【知识网络】【要点梳理】要点一：向量的有关概念1极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极
2、点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；当时表示极点；当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，, 均表示同一个点.3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（极点与原点重合；极轴与轴正半轴重合；长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐
3、标间的互化关系.4. 直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及. （2）过垂直于极轴的直线：5. 圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：. （2）若，以为直径的圆：要点二：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 要点三：常见曲线的参数方程1直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参
4、数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，在下方时，)。 （2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：（为参数，为为常数，）； 其中的几何意义为：若是直线上一点，则。2圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）； 特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。 （2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。 （3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。（2）参数的几何意义
5、是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4. 双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为（为参数）。 5. 抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）。参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。【典型例题】类型一：极坐标方程与直角坐标方程例1在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_ ，关于极轴的对称点的坐标是_，关于直线的对称点的坐标是_，【思路点拨】画出极坐标系，结合图形容易确定。【解析】
6、它们依次是或；（）.示意图如下：【总结升华】应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。举一反三：【变式】已知点，则点（1）关于对称点的坐标是_，（2）关于直线的对称点的坐标为_ 。【答案】(1) 由图知：,，所以； (2) 直线即，所以或（）例2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。 (1) ；(2) ；(3) ；(4) .【思路点拨】依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。【解析】（1）方程变形为, 或，即或， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。(2) 变形得,即，故原方程表示直线。(3) 变形为, 即，整理得，故原方
7、程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。（4）变形为, ,即,故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。【总结升华】极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用、表示。举一反三：【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.(1)； (2), 其中；(3) (4) 【答案】：(1) ，即,故原方程表示是圆.(2), ， ，或，或故原方程表示圆和直线.(3)由，得即，整理得 故原方程表示抛物线. (4) 由得,，即故原方程表示圆.【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_. 【答案】将代入方程得.例3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角
8、是；（2）过点，并且和极轴垂直。【思路点拨】数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点垂直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。【解析】（1）由图知，所求的极坐标方程为； （2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即.（方法二）由图知，所求直线的方程为，即.【总结升华】抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.举一反三：【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_。【答案】：。（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，则原点（极点）到该直线的
9、距离是；（方法二）直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，极点到直线的距离为。【变式2】解下列各题 （1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为_，平行于极轴的切线方程为_； （2）极坐标系中，两圆和的圆心距为_ ；（3）极坐标系中圆的圆心为_。【答案】（1）（方法一）设在圆上，则， 由余弦定理得 即，为圆的极坐标方程。 其平行于极轴的切线方程为和。 （方法二）圆心的直角坐标为，则符合条件的圆方程为，圆的极坐标方程：整理得，即.又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，即和（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，两圆圆心距为.（方法二）圆即的圆心为，圆即的圆心为，两圆圆心距为. （3）（方法
10、一）令得，圆心为。（方法二）圆即的圆心为，即.类型二：参数方程与普通方程互化例4把参数方程化为普通方程(1) (，为参数)； （2） (，为参数）；（3）(,为参数)； （4） (为参数).【思路点拨】（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。【解析】（1），把代入得；又 , , 所求方程为：(,)(2),把代入得.又， ,. 所求方程为(,). (
11、3) （法一）：,又，, 所求方程为(,).（法二）：由得,代入,（余略）.(4) 由 得, ,由得,当时，；当时，从而.法一:，即（），故所求方程为（）法二: 由 得，代入得，即再将代入得，化简得.【总结升华】1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.举一反三：【变式1】化参数方程为普通方程。（1）(t为参数) ； （2）（t为参数）.【答案】：（1）由得，代入化简得., ,.故所求方程为（，）（2）两个式
12、子相除得，代入得，即. ，故所求方程为().【变式2】（1）圆的半径为_ ；（2）参数方程(表示的曲线为（ ）。 A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点C、双曲线一支，且过点 D、抛物线的一部分，且过点【答案】：（1）其中， 半径为5。 （2），且，因而选B。【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（ ）。A、 B、 C、 D、（2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。 A、 B、 C、 D、【答案】：（1），相除得，倾斜角为，选C。（2），相除得， 倾角为，选C。【变式4】在极坐标系中，点到直线的距离为【答案】1【解析】先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程
13、，利用点到直线距离公式.【变式5】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),曲线C的参数方程为 (为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.【答案】C解:直线的参数方程为 消去参数后得直线的普通方程为 同理得曲线C的普通方程为 联立方程组解得它们公共点的坐标为, 例5已知曲线的参数方程（、为常数）。 （1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型； （2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。【思路点拨】通过消参，化为普通方程，再做判断。【解析】（1）方程可变形为（为参数，为常数）取两式的平方和，得 曲线是以为圆心，为半径的圆。 （2）方程变形为（为参数，为常数）, 两式相除，可得，即, 曲线是过点且斜率的直线。【总结升华】从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。举一反三：【变式】已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为 ，则点到直线的距离为 【答案】【解析】依题已知直线：和点可化为：和，所以点与直线的距离为【变式2】已知圆锥曲线方程为。（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。【答案】（1）方程可化为 消去,得： 曲线是抛物线，焦点到准
