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1、机械专业通用计算题1.试用牛顿法求f (X)= 8x2 + 5x 2的最优解，设X(0)= 10 10卜。12初始点为X(0) = 110 10卜，则初始点处的函数值和梯度分别为f (X 0 )= 170016 x + 4 x1 24 x +10 x12X1 = X0 -a Vf (X0 )=0Vf (x 0)=200，10-20010 200a-a=0_10_014010 - 140a0沿梯度方向进行一维搜索，有140a为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件0Q1 )= min f Ex o 一= min 8 x 10 - 200aa0=m inp(a)ap(a ) = 1060000a -
2、59600 = 0,00+ 4x(10-200a )x(10- 140a )+ 5x(10- 140a0 0 0从而算出一维搜索最佳步长59600 = 0.0562264a =0 1060000则第一次迭代设计点位置和函数值Xi二10 - 200a 1010 - 140a0-1.245283012.1283019(Xi)= 24.4528302，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。试用黄金分割法求函数f (a) = a + 20的极小点和极小值，设搜索区间aa,b= 0.2,1(迭代一次即可)解：显然此时，搜索区间a,b=0.2,1，首先插入两点a和a，由式12a =
3、 b-X( b = -10 ( - 1 8= 10 . 20.5 0 5 61a = a + X( b a 0+. 2 (. -6 1 )&10.20.6 9 4 42计算相应插入点的函数值 f(a )a 40.0626, f(a )a 29.4962 。12因为f (a) f (a)。所以消去区间la, a,得到新的搜索区间a , b,1 2 1 1即a , b=a, b=0.5056,1L1第一次迭代：插入点a a 0.6944 , a = 0.5056 + 0.618(10.5056) = 0.8111 12相应插入点的函数值f (a )= 29.4962,f (a )= 25.4690
4、, 12由于f (a) f (a)，故消去所以消去区间a,a,得到新的搜索区间 1 2 1a ,b，则形成新的搜索区间la ,b=la,bLln.6944,1。至此完成第一次迭代, 11继续重复迭代过程,最终可得到极小点。3用牛顿法求目标函数f (X)= 16x2 + 25x2 +5的极小点，设X(0) = 2 2t。12解：由 X(0)= 22T ,32 x1 =50 x64100dx1 2 f2f 1()1 x 2x x 1V 2 fX 0 丿 a|11 2 la320 -, 其 逆1 2 f2f l0501 dx dxdx 2 12 1 222矩1V 2 f (x 0)T a 320阵为
5、因此可得：0150V2 f (X 0 )1-1 Vf (X 0)=2 - 03264 -0_20丄_100 _0_X1a X0-f (X1)a5, 从而经过一次迭代即求得极小点X*=0 0t , f(X*)= 5迭代序号aaia2by1比较y200.20.50560.6944140.062629.496210.50560.69440.8111129.496225.46905、 求二元函数 f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5 在 x0=0 0T 处函数变化率最大的方向和数值？ 解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量 P 表示函数变化率最大和数4.下表是用黄金分割
6、法求目标函数f G) 20的极小值的计算过程，请完成下表。值是梯度的模I仍(x)II。求fg,x2)在兀点处的梯度方向和数值，计算0 1 2 0如下：vf (X0) =dxdx2_ 2 x 4_- 4_i=2 x 222x0IVf(x )IL(f )2 + (冬)2 =J(4)2 + (2)2 二2弱dxdx* 1 2P=IVf ( x)在xi -x2平面上画出函数等值线和x0(0,0)点处的梯度方向P，如图2-1所示。从图中可以看出，在x点函数变化率最大的方向P即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方 0向。6、 用共轭梯度法求二次函数 f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2 x1
7、x2 的极小点及极小值？解：取初始点x0 =1 ibg0= Vf (X o)=2 x 2x 41 24 x 2 x21x0- 42d0=-g0=-4 -2沿do方向进行一维搜索，得1+a-4 102x1=x0+ a o d0=1 + 4a01 _ 2ao其中的ao为最佳步长,可通过 f(x1) =min心),0)= 0a1求得则丁+a-4 -10201 + 4a01 _ 2a0为建立第二个共轭方向d,需计算x1点处的梯度及系数Po值，得2 x 2x 4g1= f(x1)=4x 2x-202IlgJI2llg JI220从而求得第二个共轭方向d1=-g1+Pd0=再沿 d1 进行一维搜索，得_
8、2 -2 -2 + 2a1+a3=13 11+ a_ 2 _ 2 _L 2 2 1x2=x1+a 1d1=其中的a 1为最佳步长，通过 f (x2) =min申(a),0 (a ) = 021求得则_ 2 -2 -2 + 2a1+a3=13 11+ a_ 2 _ 2 _L 2 2 1x2=g2= v f(x2)a =11计算 x2 点处的梯度2 x 2x 41 24 x 2 x2 1x 2说明X2点满足极值必要条件，再根据X2点的海赛矩阵2G(X2)=,2是正定的，可知X2满足极值充分必要条件。故X2为极小点，即x2而函数极小值为f (x*) = -8。7、求约束优化问题Minf(x)=(x1
9、-2)2+(x2-1)2s.t.h(x)=x1+2x2-2=0的最优解？解：该问题的约束最优解为x* = 1.6 0.2】,f (x*) = 0.8。由图4-1a可知，约束最优点x*为目标函数等值线与等式约束函数(直线)的切点。用间接解法求解时，可取卩=0.8,转换后的新目标函数为2(x,卩)=(x 2)2 + (x 1)2 + 0.8(x + 2x 2)2 1 2 1 2可以用解析法求 min e (x,卩2)，即令二0，得到方程组話二 2(xi - 2) +。8 二 01二 2(x 1) +1.6 二 0 dx22解此方程组，求得的无约束最优解为：x* = 1.6 0.2】,e(x*,卩)二0.8其结果和原约束最2优解相同。图4-lb表示出最优点x*为新目标函数等值线族的中心。Jy图 4-la）目标函数等值线和约束函数关系b）新目标函数等值线
