《第七章--等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七章--等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理一、等价鞅测度的基本涵义1、鞅的定义：随机过程Zn，n0如果满足以下两个条件：(1 ) E IZ E，对于n0的任何n。(2) EZ 1 I Z0 Z = Z2、等价鞅测度的定义随机过程S (t) ,E (0,+8)是一个鞅(对应于信息结构8和条件概率 tP*)如果对任意t0,满足以下三个条件：(1) S (t)在8信息结构下已知。t(2) e I S(t)Iv+8(3) E(S(T)=S(t) , tVT,以概率为 1 成立。T即 E *S(T)18 =寸 P * S(n = Si=1式中T时S (T)的可能取值Si, S2Sk共k种，P*为相应的条件
2、概 率。则称条件概率P*为真实概率P的等价鞅测度或等价鞅概率。根据等价鞅测度的关系，正是表达风险中性定价原则，即各阶段依信 息结构七决定的条件概率所求的平均价值的现值，总与初始阶段的价值相 等，这样就可以求解条件概率P*，在无套利条件下作为现实世界的P，为 期权的风险中性定价服务。为了更好地理解风险中性定价，我们可以举一个简单的例子来说明。假设一种不支付红利证券(no-dividend-paying)目前的市价为100 元，我们知道在半年后，该股票价格要么是110元，要么是90元。假设现 在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份6个月期协议价格为105 元的该股票欧式看涨期权的价值。由于
3、欧式期权不会提前执行，其价值取决于半年后证券的市价。若6 个月后该股票价格等于110元，则该期权价值为5元；若6个月后该股票 价格等于90元，则该期权价值为0。为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。在风 险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P*，下跌的概率为1-P*。这 种概率被称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。实际 上，风险中性概率已经由股票价格的变动情况和利率所决定：e-0.1X0.5 110P * +90(1 - P*) = 100P*二根据风险中性定价原理，我们就可以算出该期权的价值:f = e -0.1X0.5 (5 x 0.7564 + 0
4、x 0.2436) = 3.5975二、从实例考察等价鞅测度的存在性和唯一性参阅金融工程原理P,108-P112例1.通过等价鞅概率求期望值(1) 先求各状态下该奇异期权的价值奇异期权：合约结构不标准而且很复杂，而不是说很罕见、很少交易 或高风险的期权。可分为三种类型：合同条件变更型期权(改变期权的某 些条件)、路径依赖型期权(最终结算根据基础资产价格在一段时间内的变 化路径来决定)、多因素期权(最终结算根据两种或两种以上基础资产的价 格来决定)。% = max 寸2*(2) + 2)-14 + 2min (.(t),七(t),0 所以 %( 1) = max(2 x14 + 9 -14 -
5、2min(10,11,14,10,9,9),0=28+9-14-18=5同理可求得枷,i = 1,2 9，如以下图示:/=()r =t2状态X伽)1/4 . 14 a51/12才9(2) 求出所有的等价鞅测度由等价鞅测度的条件3可知:E *S (E y 气 = S (EE *( S 2(1)/ 小 ) = S 2(0) = 10所以：E *(S 1(1)/) = S 1(0) = 10如果记 p = P *(B / )q = P *(B / 中则一定有 1-p-q= P *( B3/ 气)由上两式可知：J11 p + 11q + 8(1 - p - q)= 109 p + 10q +11(1
6、- p - q)= 10解此方程组可得唯一解：P=q=1/3同理可求得：P *3 1/Bj)i=1,2,9 j=1,2,3因为所有解都可求出，而且是唯一的，所以由无套利均衡第二基本定 理可知该模型是有生存性的，所有的衍生证券均可通过无套利均衡来定价。(3) 求奇异买权的价格H = E *(尤)=Z x ( ) p *0 ) = 1.2167iii=1例2.首先求等价鞅测度P*,由等价鞅测度的条件3可知：E *( S1 (1) / 0) = S 1(0) = 10记 p = p *(B / ) 则 1-p = P *( B / )1020可得方程组：11 p + 11q + 8(1 - p -
7、q) = 10(3p = 29p + 10q +11(1 - p - q) = 10 即2p = 1所以此方程组无解，故不存在等价鞅测度，该模型无生存性，不是一个 均衡模型。例3.首先求等价鞅测度P*，由等价鞅测度的条件3可知：E *( S 1(X)1 )= S 1(0)二 10记 p = P *( B1/ 0) q = P *( B 2/ 0)则一定有 1-p-q= = P *(B /气)11p+10q+8(1-p-q)=10即 3p+2q=2显然，上面这个方程有无数组解。同理，由E*(S/B ) = S=11也111可以解得无数个解，所以等价鞅测度有无数个，从而该模型有生存性，但 是并非所
8、有的衍生证券都可通过无套利均衡定价。因为衍生证券的价格x 要保证为一个常数才有意义，所以应该有一定的限制条件。我们虽然得不 到唯一的等价鞅测度，但由等价鞅测度的条件3我们可以得到以下关系式:3P *( B / )+ 2P *( B / )=210202P *(3 / B ) - 2P *(3 / B ) = -1112 1、2P *(3 /B ) - 2P*(3 /B ) = -1(*)4252、3P*(3 /B3)-2P*(38 /B3) = 2我们需要保证：E *( X)=寸双3, ) P *(3,)是一个常数.i=1E *(x) = x()P *( / B ) P *( B / )+ x
9、()P * P *( / B ) P *( B / )+ 1111022110x()P*( /B )P*(B /)+ x()P*( /B )P*(B /)+3311044220x(o )P*( /B )P*(B /)+ x(o )P*( /B )P*(B /)+5522066220x(o ) P *(o / B ) P *(B / )+ x(o ) P *(o / B ) P *(B / )+7733088330x(o ) P *(o / B ) P *(B / )(书上的表达方式不太准确0由上式和方程组(*)经过推导可得：x(o ) - x(o )/x(o ) - x(o ) = -1x(o
10、 ) -x(o )/x(o ) -x(o )公 1 4656(*)(*)3x(o ) -x(o )/x(o ) -x(o ) = -3/21-_x(o ) -x(o ) + x(o ) -2/3x(o ) -x(o )-x(o )2133799-1 / 2x(o4) - x(o6) + x(o6) - 2/3x(o7) - x(%) - x(%)2（*）方程组就是使我们寻找的限制条件，在这一条件下E*（x）在任何等 价鞅测度下都为一常数。由方程组（*）可求得两个等价鞅测度P*和Q* （书 111页），从而算得E * (x) = 8 x(o )P * (o ) = E * (x) =8 x(o
11、)Q * (o )i=1i=1总结:（1）如果一个市场中价格变化过程各自独立的证券种数大于事件树每 个父辈节点的分叉数（即状态数）时，则该市场中一定存在套利机会。（如 例2）（2）如果一个市场中价格变化过程各自独立的证券种数等于事件树每个父辈节点的分叉数（即状态数）时，则该市场中所有的衍生证券都可通 过无套利均衡定价，或者说，对每种衍生证券来说，市场都是完全的。（如 例1）（3）如果一个市场中价格变化过程各自独立的证券种数小于事件树每 个父辈节点的分叉数（即状态数）时，则该市场并非所有的衍生证券都可 通过无套利均衡定价。市场只对其期末价值满足一定比例关系式的衍生证 券才是完全的。（如例3）三、
12、用鞅方法推导BS模型（1）鞅：对于% tWT, EXT=Xt称xt是鞅。（2）资产S,服从几何布朗运动:在风险中性世界，且无“股利，支付时:ds一 =rdt +c dz s解上面方程得:2S = S e（r- 2）（TT） + （Zt -Zt）（上式积分求解）/EST=Ster（T-t）（上式两边求期望）., tWT本身不是鞅但折现之后就变为鞅，即 e-r(T-t)S E是鞅。因为：e-r(T-t) ES = S er(T-t) e-r(T-t)Ee-r(T-t) ST=St(3) 下面用期望折现，即鞅方法定价，(为期权定价)根据欧式期权定义：CT=max(Sx，0), 因为e-r(T-t)S
13、T是鞅，所以e-r(T-t)CT也是鞅， 则 Ee-r(T-t)CT=CtC =e-r(T-t) ECT二 C = e-r(T-t)Ema乂 七-尤),0 = e-r(t-t)E(七-尤)+b 2=e - r (T-t) E(Se(r-丁(t-t)eb (Zt)- X)+b 2=e-r (T-t) j+戒S e(r- 2 )(t-t) eb(zt -zt) - X) + - j(x)dx-8 tZT-Zt. Z -Z -令 = T t 贝 ijy N (O, 1)T -1-X) + e 七 dy.j 2兀b2二上式二 e -r(T-t) j+8(e(r-T)(t-t) S eZt-txy求临界
14、值y即等于0时的y值由 Se（，号）3T）eaxy = X tIn X - (r -巴)(T -1)解出y= S Ke 、t-t x y 2 e 亡 dy十2兀b 2故 c = e -点-t)卜“e(r- 2)(T-t)-j +8 Se - r (T-t)X1 e 二 dyt一yi（进行配方）=S e t(r-t) j+8- e -y2-2b 2T-t xy dy - Xe -r(-t)1 - N (y )tyi y2兀1b 2 . 、iy2 2b T-ty +b 2(t-t)-b 2(t-t)=S e-7(T-t) j+8，丁 e -2dy - Xe-r(t-t)1- N(y=S e)e2b2(T-t)尸8二e-2(，-b宥)2dy ty1 ：2n-Xe -r(t-t)1 - N(y1)(令 m= y -b、J；T -t)b21 勺/f 、m2二 S e-7(T-t)e2b2(T-t)j+8 _ e乙dm - Xe-r(t-t) 1 - N(y ) ty1 -b-T-t1二=S N (d 1)
