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1、最新人教版数学精品教学资料2.2.2向量减法运算及其几何意义学习目标1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一相反向量思考实数a的相反数为a，向量a与a的关系应叫做什么？答案 相反向量.梳理(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反， 那么称这两个向量是相反向量.(2)性质：对于相反向量有：a(a)0.若a，b互为相反向量，则ab，ab0.零向量的相反向量仍是零向量.知识点二向量的减法思考根据向量减法的定义，已知a，b如图，如何作出向量a，b的差向量ab?答案(1)利用平行四边形法则.如图，在平面内任取一点O，作a
2、，b，b，以，为邻边作平行四边形OAEC，则ab.(2)利用三角形法则.如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab.知识点三|a|b|，|ab|，|a|b|三者的关系思考在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|b|，|ab|，|a|b|三者关系是怎样的？答案它们之间的关系为|a|b|ab|a|b|.梳理当向量a，b不共线时，作a，b，则ab，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有|a|b|ab|b|，作法同上，如图(3)，此时|ab|a|b|.故对于任意向量a，b，总有|a|b|ab|a|b|.因为|ab|a(b)|，所以|a|b|ab|
3、a|b|，即|a|b|ab|a|b|.将两式结合起来即为|a|b|ab|a|b|.类型一向量减法的几何作图例1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc. 解方法一如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.方法二如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，连接OC，则abc.引申探究若本例条件不变，则abc如何作？解如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab.再作c，则abc. 反思与感悟求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.
4、跟踪训练1如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量ab，cd. 解如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，c，d.则ab，cd.类型二向量减法法则的应用例2化简下列式子：(1)；(2)()().解(1)原式0.(2)原式()()0.反思与感悟向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.跟踪训练2化简：(1)()()；(2)()().解(1)()().(2)()()()0.类型三向量减法几何意义的应用例3已知|6，|9，求|的取值范围.解|，且|9，|6，3|15.当与同向时，|3；当与反向时
5、，|15.|的取值范围为3，15.反思与感悟(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若a，b，则ab，ab. (2)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相反且|a|b|时，|a|b|ab|；当a与b方向相同时，|ab|a|b|.(3)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相同，且|a|b|时，|a|b|ab|；当a与b方向相反时，|ab|a|b|.跟踪训练3在四边形ABCD中，设a，b，且ab，|ab|ab|，则四边形ABCD的形状是()A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形答案B解析ab，四边形ABCD为平行四边形，又ab，|ab|ab|，|.四边形ABCD为矩形.1.如图
6、所示，在ABCD中，a，b，则用a，b表示向量和分别是() A.ab和abB.ab和baC.ab和baD.ba和ba答案B解析由向量的加法、减法法则，得ab，ba.故选B.2.化简的结果等于()A. B. C. D.答案B3.若菱形ABCD的边长为2，则|_.答案2解析2.4.若向量a与b满足|a|5，|b|12，则|ab|的最小值为_，|ab|的最大值为_.答案717解析由|a|b|ab|a|b|，|a|b|ab|a|b|可得.5.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，及.解四边形ACDE是平行四边形，c，ba，ca，cb，bac.1
7、.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如aba(b).2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.3.以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量a，b，则两条对角线表示的向量为ab，ba，ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.课时作业一、选择题1.化简所得的结果是()A. B.C.0 D.答案C解析0.2.已知一点O到ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于()A.abc B.abcC.a
8、bc D.abc答案B解析如图所示，abc.故选B. 3.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A.0 B.C. D.0答案C解析，0，A正确；，B正确；，C错误；，0，D正确.4.如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则() A.0B.0C.0D.0答案A解析()0.5.在边长为1的正三角形ABC中，|的值为()A.1 B.2C. D.答案D解析如图，作菱形ABCD，则|.6.若|5，|8，则|的取值范围是()A.3，8 B.(3，8)C.3，13 D.(3，13)答案C解析|且|A|，3|13，3|13.7.如图，在四边形ABCD中，设a，b，c，则等于() A.a
9、bcB.b(ac)C.abcD.bac答案A二、填空题8.已知a，b，若|12，|5，且AOB90，则|ab|_.答案13解析|12，|5，AOB90，|2|2|2，|13.a，b，ab，|ab|13.9.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于点O，则_.答案10.若a0，b0，且|a|b|ab|，则a与ab所在直线的夹角是_.答案30解析设a，b，则ab，|a|b|ab|，|，OAB是等边三角形，BOA60.又ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA.a与ab所在直线的夹角为30.三、解答题11.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|4，|，求|.解以AB，AC为
10、邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法的几何意义可知，|，|，又|4，M是线段BC的中点，|2.12.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，a，b，c，试求：(1)|abc|；(2)|abc|.解(1)由已知得ab，c，延长AC到E，使|.则abc，且|2.|abc|2.(2)作，连接CF，则，而aab，abc且|2.|abc|2.13.已知向量a、b满足|a|1，|b|2，|ab|2，求|ab|的值.解在平面内任取一点A，作a，b，则ab，ab.由题意知，|2，|1.如图所示，过点B作BEAD于点E，过C作CFAB交直线AB的延长线于点F. ABBD2，AEEDAD.在ABE中，cos EAB.在CBF中，CBFEAB，cos CBF，BFBCcos CBF1，CF.AFABBF2.在RtAFC中，AC ，|ab|.四、探究与拓展14.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中b，c，则_.答案bc解析bc.15.如图，已知a，b，c，d，e，f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)；(2)；(3).解(1)ca.(2)da.(3)0.
