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1、第6章模糊推理6.1知识的不确定性62模糊集合的定义与运算64简单模糊推理6.5 般模式的模糊推理人工智能与专家系统（第二版）中国水利水电出版社6.1知识的不确定性1证据的不确定性(1) 证据的歧义性(2) 证据的不完全性(3) 证据的不精确性(4) 证据的模糊性(5 )证据的可信性(6 )证据的随机性人工智能与专家系统(第二版)中国水利水电出版社2规则的不确定性(1) 规则前件的条件的不确定性(2) 规则前件的证据组合的不确定性(3) 规则本身的不确定性规则结论的不确定性人工智能与专家系统(第二版)中国水利水电出版社3推理的不确定性推理的不确定性：由于证据的不确定 性和规则的不确定性在推理过
2、程中的动态 积累和传播，从而导致推理结论的不确定 性。（1）证据组合的不确定性测度计算模式 已知证据0，02,0“的不确定性测度为卩1， 卩2，卩“，匂，幺2,，勺2的合取组合匂人巾人人勺2,的 不确定性测度表示为：n=f（V卩2,，“）q 1 ,巾,0“的析取组合Q xVe2V. Ve的不确定性测度 表示为：P=g（Pl，旳，）。证据勺的否定为的不确定性测度表示为：（2）并行规则的不确定性测度计算模式 已知有多条规则if勺then仇有相同的结论 h,各条规则的不确定性测度为山， i = 1,2,.Wo若兀条规则都被满足，那么，结 论的不确定性测度表示为：n=P （旧，卩2,，恂）（3）顺序（
3、串行）规则的不确定性测度计算模式已知两条规则if e then 和if then h的规则不确定性测度分别为和#2，那 么，规则if e then h的规则不确定性测度 表示为： = S （旳，旳）6.2模糊集合的定义与运算621模糊集合的定义与表示車 622模糊集合的运算6.2.1模糊集合的定义与表示 在经典集合论中，论域是一个普通集 合。论域U的子集A在经典集合论中可以有 以下两种表示方式：A为满足某种性质”（兀）的对象集合，即 A = x IxU, JLx满Xp(x )用特征函数表示，即1叫（兀）=S0V在经典集合论中，若论域U中的子集A和B的运算用特征函数来表示，则并集AUB、交集AC
4、B、补集的特征函数分别为:心 B(x) = niaz(p.A(x) ?忙）VxEUM-a B(x) = mitiP-A(x)? P-b(x)pl -(X)= l-HA()VxeaVxGU-3定义6.1论域U二兀上的集合A可由隶属函 数际（兀）表示，际（兀）在闭区间0, 1中的取值 称为兀属于模糊集合A的隶属度，若隶属度越接近 于1,贝吐属于A的程度就越大，反之就越小。论域U是0到120之间的年龄值,模糊集合 “年轻”可以用隶属函数表示为：卩年轻（兀）二 1 + （可?）2 x = 0, 1, 2,，1206.1 “年轻的隶属函数的函数图形定义6. 2 设论域U是有限域，即U二“, 兀2，U上的
5、任一模糊集合A可表示为：A = |1A（兀1 ）/兀1 + 应（兀2 ）/+ Aa（ Xn $XnIt=工 “A（Xi”Xii=l其中，应（可）是可属于A的隶属度。若Ra（无）= 0,则模 糊集A的上述表示中的相应曲（Xj ）/Xj项可以省略。例如，模糊集“年轻”可以表示为：120v年轻二 （1 + （匕）2）5羽i=od U设论域U二1, 2,9,若A为接近5的整数集合，则A可以表示为：A = 0.1/1 + 0.2/1 + 0.4/3 + 0.7/4 + 1/5 + 0.7/6 +0.4/7+ 0.2/8+ 0.1/9定义6.3 设论域U是无限域，U上的任一模糊集A可表示为:J “4（兀）
6、/兀xwU同样，J不是积分符号，只是表示无 限论域上的一个模糊集的符号。例如，设论域U是实数集R, A为小实 数的集合，则A可以表示为：A 二 J（1 + x2）-1 lx6.2.2模糊集合的运算1模糊集合的并集、交集和补集运算定义6. 6设A、B是U上的模糊集，A和B的并 集AUB、交集AAB和补集的隶属函数定义分别为： 卩AU B（兀）二 maX（ PA（兀）， 皿（兀）=Pa（x）5b（x）Raab（兀）二 min（ Pa（兀），Pb（兀）=皿（兀）八皿（兀）s（x） = 1-|HA（X）定义6. 7按照论域U分别是有限域和无限域，模糊集A和B的并、交和补的计算分别为：论域U二xi,X2
7、,xj，且n刃1/1)1A = YjLiA(xi)/xiB =、TTIAUB =工CM）/i=lAAB = 工（“A（兀）A Ab（R）/ i=iW 人工智能与专家系统（第二版）中国水利水电出版社 论域U为无限域，且A= j/zA(x)/x , B =沟/兀，贝UxeUXgUAljB = f (“A (x) V “B (兀)/ 兀xeUAp|B =(“人(x) A“b(x) /xxgUA -(1-/A(x) lxxeU例&1 设论域 U = xi.x2,x3.x4.x5且有A = 0.2/兀+ 0.7/x2 + l/x3 + 05/r5B = 0.5/xj + 0.3/x2 + 0.1/x4
8、+ 0.7/x5 计算AUB、ACIB和A解：由定义6.7,可得：AUB =( 0.2 V 0.5 )/xx + (0.7 V 0.3 )/x2 + (1VO )/x3 + (0V0.1 )/x4 + (0.5V0.7 )/x5=0.5/xx + 0.7/x2 + l/r3 + 0.1/x4 + 0.7/x5AAB = (0.2 A0.5 )/可 + ( 0.7A0.3 )/x2 + (1A0 )/x3 +(OAO.l )/x4 + ( 0.5 A0.7 )/x5=0.2/兀1 + 0.3/x2 + 0.5/x5A = (1-0.2 )/Xj + (l0.7 )/x2 + (1-1 )/x3
9、+ (l-0 )/x4 + (l-0.5 )/x5=0.8/xx + 0.3/x2 + l/x4 + 0.5/x5W 人工智能与专家系统（第二版）中国水利水电出版社定义6.设Ap A25 .? 分别是论域UpU2,.匕上的模糊集，AP A2, . A診勺笛卡 尔乘积记为Aj x A2 X . X A/P它是论域U 二 U/qx X上的一个模糊集，其隶属函数定义为:也5 （兀西，忑）=血佃）人血偽）八叭冷 d人工智能与专家系统（第二版）中国水利水电出版社#若论域是有限域，模糊集的笛卡尔乘积为： X 4 X X儿=g仏紺八他彷）八八他（爲）g厂応）若论域是无限域，模糊集的笛卡尔乘积为： 兔X爲XX
10、九彳（幻（眄）八他E）八八如E ）1內，,X W 人工智能与专家系统（第二版）中国水利水电出版社例6. 2 设 UX=U2= 3,5,7A1 = 0.5/3 + 1/5 + 0.6/7,A2 = 1/3 + 6/5,计算Ax A2o解 Axx A2= (0.5 A 1)/(3, 3) + (1 A 1)/(5, 3)+ (0.6 A 1)/(7, 3)+ (0.5A0.6)/(3, 5) + (lA0.6)/(5, 5) + (0.6A0.6)/(7, 5)=0.5/(3, 3) + 1/(5, 3) + 0.6/(7, 3) + 05/(3, 5) + 0.6/(5, 5)+ 0.6/(7,
11、 5)人工智能与专家系统（第二版）中国水利水电出版社#2模糊关系模糊关系描述两个集合的元素之间的关联程度有多大。定义6. 9设U和V分别是论域，模糊关系R是笛卡尔乘积UxV二（兀，j）lxeU,yWV中的模糊集，R的隶属函数表示为 兀,Xm V = yi，, y“， 度旳=Pr（七，力）表示u中的元素与V中的元素刀 的关联程度，则二元模糊关系R可以表示成隶属度 矩阵的形式：例如，设11 = 兀1，x2,兀3表示三个人的集合，UxU上表示“彼此熟悉”的模糊关系R可以表示为：R = l/(x19 兀J + 0.7/(兀1，兀2)+ 0.5/(xx, x3) + 0.9/(x2? xx) + l/(
12、x2, x2)+ 0.4/(x2,兀3)+ 0.5/(兀3，xx) + 0.1/(x3, x2) + l/(x3,兀3)隶属度矩阵：r 10.7 0.31R= 0.910.40.501定义6. 10设Ri、R2AU x V上的两个模糊关系，则有: 包含：若垢R2,当且仅当皿（孟,y） W 址 0, y） 论 E EZ, Vy e V -才目等：若R1 = R2，当且仅当皿（兀y）=皿 0j）, VxeU7VjeTo模糊关系Ri和R?的并集Ri u R2的隶属函数为: 血滋仃,为=M血0,为，应0,为）=皿0,y） V皿0,刃模糊关系R和R?的交集RxnR2的隶属函数为:丘n岛（兀刃 二皿丸丘（
13、兀J）- 皿（x J）=皿（兀y） A 鼻（兀刃模糊关系R的补集的隶属函数为:怨= 1-堆 Oj）定义6. 11若R是论域U x V上的模糊关系， R?是论域V x W上的模糊关系，则R和R?的合成 R1R2是Uxw上的模糊关系，R1R2的隶属度定义 为：血诅（X,勿=贓血:血（3）母,0，勿）“I 血（2）八血0,勿）Ib勿E X晒定义6. 12若有二元模糊关系A = a/jZMxw, B = b心“，矩阵元素呦和如分别是A和B中相 应的隶属度M沪则模糊关系A和B的并、交、补 运算分别是：A U B = aryVbm xnACIB = gjAbijh xnA = If。加 xn若有二元模糊关系A = lAjlmxq，B = bkjqx 则模糊关系A和B的合成A。B为：A。B = %加 Xn其中记为qmax(min,Z?,.)k=lJq乂(皱 A bkj)W 人工智能与专家系统（第二版）中国水利水电出版社例6. 3若有二元模糊关系A =0.10.20.7A oBo0.3,计算応、AUB、ACB和W 人工智能与专家系统（第二版）中国水利水电出版社AUB =0.1 v0.31-0.11-0.30.80.90.30.30.20.1 v0.3 ahb =0.3 a 0.10.10.1护人工智能与专家系统（第二版）中国水利水电出版社W 人工智能与专家系统（第二
