函数图像的对称问题(小结)

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1、解填空题常用到的几个公式1 AB和平面M所成的角为，AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是，设BAC=,则2 在二面角的面M内，有直角三角形ABC,斜边BC在棱上，若A在平面内N的射影为D,且ACD=，ABD=，二面角为，则3 设F1,F2为椭圆（ab0）的焦点，M是椭圆上一点，若F1MF2=则=, .4 设F1,F2为双曲线（ab0）的焦点，M是双曲线上一点，若F1MF2=,则=, . 5已知椭圆（ab0）上一点，F1,F2为左右两焦点，PF1F2=，P F2F1=，则.6.设直线与椭圆(双曲线)相交于不同的两点A,B,AB的中点为M,则().7.过抛物线函数图像的对称问

2、题(小结)函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函数图象关于某直线对称或关于某点成中心对称与函数自身的对称轴或对称中心是有本质区别的，注意不要把它们相混淆。造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。一、 同一个函数图象关于直线的对称结论1：设a,b均为常数，函数 对一切数学x都满足，则函数的图象关于直线对称。推论1：在直角坐标系中，满足的函数y=f(x)关于直线x=a对称（其中a为常

3、数）推论2：在直角坐标系中，满足的函数 的图象关于直线x=0对称。例1 已知函数的定义域为R，且对于一切实数x满足， ，当时， ， f(x) 当时，求函数的表达式。解：由 知，函数的图象关于直线x=2和x=7对称，且有 当时， ，此时；当x时，g(x)=二、两个函数图象关于直线的对称结论2：在同一直角坐标系中，函数与函数的图象关于直线对称（其中a，b均为常数）推论1：在直角坐标系中，函数与函数的图象关于直线x=0对称。推论2：在直角坐标系中，函数与函数的图象关于直线x=a对称（其中a为常数）。例2 设函数f(x)，则它们的图象（ ）A关于原点中心对称B关于直线x=0对称C关于直线x=1对称D既

4、不成中心对称也不成轴对称解析：由推论1知，这两个函数图象的对称轴方程为x=0，即y轴，故应选B。三、 同一个函数图象关于点成中心对称结论3：设a，b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点(a,b)成中心对称图形。例2 已知函数满足，求的值。解：由已知，在等式中，令a=0，2b=2002，则函数关于点(0,1001)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数关于点(1001,0)对称。将上式中的x用x1001换，得=0 。四、 两个函数图象关于点成中心对称结论4：设a，b，c均为常数，则函数 与 关于点()成中心对称图形。例4 已知函数是定义在实数集R上的函数，那么与的图象（ ） A关于直线x=5对称 B关于直线x=1对称C关于点对称 D关于点(1,0)对称解析：由题意，已知式变形为，则有a=4，b=6，c=0。由结论4知，与关于点()成中心对称，即关于点 (1,0)对称，故应选择D。