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1、 1 1专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语 1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值，还是因变量的取值，还是曲线上的点， 集合中元素的“三性”既是解题的突破口，也是检验所得字母取值(或范围)是否保留的依据2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3. 已知集合A、B，当AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化4. 对于含
2、有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n1，2n1，2n2；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5. 命题逻辑联结词“或”“且”“非”与集合论中的“并”“交”“补”运算要进行类比理解，掌握解这类题的一般步骤与解题格式6. 学习本节内容，要侧重于语言(集合语言、数学符号语言)的转化，要强化数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法在数学中的应用1. 已知A、B是非空集合，定义ABx|xAB且xAB若AxR|y，By|y3x，xR，则AB_. 答案：(，3)解析：A(，03，)，B(0，)，AB(，)，AB3，) AB(，3)2. 某班共30人，其中
3、15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_答案：12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题如图，设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的人数有15x，只喜爱乒乓球的人数有10x，由此可得(15x)(10x)x830，解得x3，所以15x12，即所求人数为12.3. 已知条件p：aMx|x2x0，条件q：aNx|x|2则p是q的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案：充分不必要解析：M(0，1) N(2，2)4. 已知p：4xa0，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是_答案：1，6解析：p
4、：a4xa4，q：2x2p1p2.BA成立综上得p3.点评：从以上解答应看到：解决有关AB，ABA，ABB或AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题设全集是实数集R，Ax|2x27x30，Bx|x2a0(1) 当a4时，分别求AB和AB；(2) 若(RA)BB，求实数a的取值范围解：(1) 由2x27x30，得x3， A.当a4时，解x240，得2x2， Bx|2x2 AB，ABx|2x3(2) RA，当(RA)BB时，BRA. 当B时，即a0时，满足BRA； 当B时，即a0时， Bx|x，要使BRA，须，解得a0， 0，这时集合A中的元素作为点的坐标
5、，其横、纵坐标均为正，另外，由于a110 如果AB，那么据(2)的结论，AB中至多有一个元素(x0，y0)，而x00，y00，这样的(x0，y0)A，产生矛盾，故a11，d1时AB，所以a10时，一定有AB是不正确的题型三 集合与逻辑知识应用的拓展例3 设集合A，Bx | x 1|a，则“a1”是“AB”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案：充分不必要解析：由题意得A：1x1，B：1axa1， 由a1.A：1x1.B：0x2.则ABx|0x1成立，即充分性成立 反之：AB，不一定推得a1，如a可能为.综合得“a1”是“AB”的充分不必要条件 设U为全集，
6、A、B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案：充要解析：若存在集合C使得AC，BUC，则可以推出AB；若AB，由韦恩图可知，一定存在CA，满足AC，BUC，故“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的充要条件题型四 充要条件的探求与证明例4 已知数列an的前n项和为Snpnq(p0，p1)，求数列an为等比数列的充要条件解：数列an为等比数列，则a1pq，n2，anSnSn1(p1)pn1.由于p0，p1， n2时，数列an是公比为p，首项为p1的等比数列， pqp1， q1.由上面探求的过程可知，数列an
7、为等比数列的充要条件即为q1. 已知p：12x8；q：不等式x2mx40恒成立，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围解：p：12x8，即0x3， p是q的必要条件， p是q的充分条件， 不等式x2mx40对x(0，3)恒成立， mx对x(0，3)恒成立 x24，当且仅当x2时等号成立， m4.1. (20xx湖南卷)“1x2”是“x2”成立的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件答案：充分不必要2. (20xx福建卷)命题“x0，)，x3x0”的否定是_答案： x0，)，x3x03. (20xx四川卷)已知集合Ax|x2x20，集合B为整数集，则AB_答案：1
8、，0，1，24. 已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_答案：11解析： AxR|x2|3x|5x1，又AB(1，n)，画数轴可知m1，n1. 5. (20xx上海卷)设常数aR，集合Ax|(x1)(xa)0，Bx|xa1若ABR，则a的取值范围为_答案：(，2解析：若a1，则A(，1a，)，Ba1，)，ABR，a11，则1a2；若a1，ABR成立，a1，则A(，a1，)，ABR成立综上a2.6. (20xx福建卷)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足；() Tf(x)|xS；() 对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”现给出以下3对集合： AN，BN*； Ax|1x3，Bx|8x10； Ax|0x1，BR.其中，“保序同构”的集合对的是_(写出所有“保序同构”的集合对的序号)答案：解析：对取f(x)x1，xN*，所以BN*，AN是“保序同构”；同理对取f(x)x(1x3)；对取f(x)tan，所以应填.(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知命题：“xx|1x1，使等式x2xm0成立”是真命题(1) 求实数m的取值集合M; (2) 设不等式(xa)(xa2)1时，a2a，此时集合Nx|2ax；(9分)当a1时，a2a，此时集合Nx|ax2a，则
