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1、精选优质文档-倾情为你奉上.一、概率定义的发展与分析1.古典定义的历史脉络古典定义中的 “古典 ”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博 博弈的形式多种多样，但是它们的前提是 “公平 ”，即 “机会均等 ”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能 16 世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501 1576 ）所说的 “诚实的骰子”，即道明了这一点在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡 、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作直到1812 年，法国数学家拉普拉斯 （1749 1827 ）在概率的分析理论 中给出概率的古典定义：事件 A 的概率等于一次试验中有利
2、于事件A 的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比 2.古典定义的简单分析古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法它适用的条件有二 ：（ 1）可能结果总数有限 ；（ 2）每个结果的出现有同等可能其中第（ 2）条尤其重要 ，它是古典概率思想产生的前提如何在更多和更复杂的情况下，体现出 “同等可能 ”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中用排列（组合）体现同等可能的要n r的各种排列 （或总数为nr)的各种组合 ）看成是等可能的 ，求，就是将总数为 P( , )C( ,通常用 “随意取 ”来表达这个意思 即使如此 ，古典定义的方法能应用的范围
3、仍然很窄，专心-专注-专业.word 资料可编辑.而且 有数学上的 “ 用性的狭窄性 ”促使雅各布 ?伯努利（ 1654 1705 ）“ 找另一条途径找到所期待的 果 ”， 就是他在研究古典概率 的另一重要成果：伯努利大数定律 条定律告 我 “ 率具有 定性 ”，所以可以 “用 率估 概率 ”，而 也 以后概率的 定 奠定了思想基 “古典定 数学上的 ”在 特朗 （1822 1900 ）悖 中表 得淋漓尽致 ，它揭示出定 存在的矛盾与含糊之 ， 致了拉普拉斯的古典定 受到猛烈批 3. 定 的 史脉 概率的古典定 然 直 ，但是适用范 有限正如雅各布 ?伯努利所 ：“ 种方法 适用于极罕 的 象
4、”因此，他通 察来确定 果数目的比例，并且 “即使是没受 教育和 的人，凭天生的直 ，也会清楚地知道 ，可利用的有关 的次数越多， 生 的 就越小” 然原理 ，但是其科学 明并不 ，在古典概型下 ，伯努利 了 一点，即“当 次数愈来愈大 ， 率接近概率 ”事 上， 不 于古典概型适用，人 确信 “从 中 察的 率 定性”的事 是一个普遍 律 1919 年，德国数学家 ?米塞斯（ 1883 1953 ）在概率 基 研究一 中提出了概率的 定 ：在做大量重复 ，随着 次数的增加，某个事件出 的 率 是在一个固定数 的附近 ， 示出一定的 定性 ，把 个固定的数 定 一事件的概率.word 资料可编
5、辑.4.统计定义的简单分析虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率的方法而且 ，它不再需要 “等可能 ”的条件 ，因此，从应用的角度来讲 ，它的适用范围更广但是从数学理论上讲 ，统计定义是有问题的 在古典概率的场合 ，事件概率有一个不依赖于频率的定义 它根本不用诉诸于试验，这样才有一个频率与概率是否接近的问题，其研究导致伯努利大数定律在统计定义的场合这是一个悖论：你如不从承认大数定律出发，概率就无法定义 ，因而谈不上频率与概率接近的问题；但是你如承认大数定律，以便可以定义概率 ，那大数定律就是你的前提 ，而不是一再需要证明的论断了5.公理化定义的历史脉络正因为古典
6、定义和统计定义数学理论上的这样或那样的问题，所以到了19 世纪，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的考察1900 年，38 岁的希尔伯特 （1862 1943）在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题 ，这就是著名的希尔伯特23 个问题中的第 6 个问题 这引导了一批数学家投入这方面的工作在概率公理化的研究道路上，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（1903 1987）成绩最为卓著 ，1933 年，他在概率论基础 中运用集合论和测度论表示概率论的方法赋予了概率论严密性.word 资料可编辑.6.公理化定义的简单分析为什么直到 20 世纪才实现了概率论的公理化
7、，这是因为 20 世纪初才完成了勒贝格测度与积分理论以及抽象测度与积分理论，而这都是概率论公理化体系建立的基础柯尔莫哥洛夫借助实变函数论和测度论来定义概率概念，形成了概率论的公理化体系，他的公理体系既概括了古典定义、统计定义的基本特性，又避免了各自的局限例如，公理中有一条 ，是把事件概率的存在作为一个不要证明的事实接受下来，在这个前提下 ，大数定律就成为一个需要证明且可以得到证明的论断，这就避免了 “4”中统计定义的数学理论上的问题；而公理中关于 “概率存在 ”的规定又有其实际背景，这就是概率的古典定义和统计定义所以，我们说，概率论公理体系的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，至此，概率论才真
8、正成为了严格的数学分支二、关于概率定义教学的几点思考对于概率的定义 ，教科书是先给出古典定义，然后再给出统计定义这与历史上概率定义的发展相吻合，从“简单到复杂 ”在教学中 ，我们不仅要明了这种顺序的设计意图，而且还要抓住不同定义的特点和思想，以引导学生更好地理解概率1.古典定义的教学定位.word 资料可编辑.在前面的分析中 ，我们说 “等可能 ”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生的前提正是因为 “等可能 ”，所以才会有了 “比率 ”因此，“等可能性 ”和“比率 ”是古典定义教学中的两个落脚点“等可能 ”是无法确切证明的 ，往往是一种感觉 ，但是这种感觉是有其实际背景的，例如，
9、掷一枚硬币 ，“呈正面 ”“呈反面 ”是等可能的 ，因为它质地均匀 ；而掷一枚图钉 ，“钉帽着地 ”“顶针着地 ”不是等可能的 ，因为图钉本身给我们的感觉就是帽重钉轻因此，“等可能 ”并不要多么严密的物理上或化学上的分析，只需要通过例子感知一下“等可能 ”和“不等可能 ”即可 ，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件2.统计定义的教学定位从直观上讲 ，统计定义是非常容易接受的，但是它的内涵是非常深刻的，涉及到大数定律 在初中阶段 ，我们不可能让学生接触其严格的形式和证明因此，统计定义定位在其合理性和必要性是比较恰当的如何让学生体会其合理性和必要性？罗老师的课堂教学比较好地实现了这两点从教
10、学顺序来看 ，罗老师将 “掷硬币 ”作为归纳统计定义的例子，“掷硬币 ”可以用古典定义求概率 ，所以概率值是明确的 ，而通过试验的方法计算得到的频率就可以和这个明确的概率值相比较，如此更容易让学生体会到“频率具有稳定性 ”这一事实 ，从而感受到 “用频率估计概率 ”的合理性 ；罗老师将 “掷图钉 ”作为统计定义的应用 ，“掷图钉”不能用古典定义求概率，由此能让学生体会到学习统计定义计算事件概率的必要性从教学手段来看 ，罗老师主要采用了 “学生试验 ”的方法 ，学生的亲自试验在这节课所起的作用是无可代替的：“亲自试验 ”获得的结果能够给学生以真实感和确切感；.word 资料可编辑.“亲自试验 ”
11、能够让学生感受到频率的随机性和稳定性等特点所以，像概率与统计的学习，学生应该有更多的主动权和试验权，在动手和动脑中感受概率与统计的思想和方法3. 概率与统计教学的背后 ：专业素养的提升在课题研讨时 ，教师们表现出这样一些困惑：随着试验次数的增加 ，频率就越来越稳定？频率估计概率 ，一定要大量试验 ？实验次数多少合适 ？事实上，这些问题涉及的就是概率与统计的专业素养对于大多数教师而言 ，概率与统计相对而言比较陌生，这是很自然的 ，因为在教师自身接受的数学专业学习中，概率与统计就是一个弱项但是，既然要向学生教授概率与统计，那么还是需要有 “一桶水 ”的就像上面的问题，翻阅任何一本 概率论与数理统计 ，都可以给我们知识上的答案，而翻阅一下相关的科普读物或史料 ，就可以给我们思想方法上的答案举个例子 ：伯努利大数定律 ：设 m 是 n 重伯努利试验中事件A 出现的次数 ，又 A 在每次试验中出现的概率为 p()，则对任意的，有狄莫弗 -拉普拉斯极限定理 ：设 m 是 n 重伯努利试验中事件A 出现的次数 ，又 A在每次试验中出现的概率为p()，则伯努利大数定律只是告诉我们，当 n 趋于无穷时 ，频率依概率收敛于概率p 伯努利的想法是：只要 n 充分大 ，那么频率估计概率的误差就可以如所希望的.word 资料可编辑.
