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1、-直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型运用的知识：1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。2、弦长公式：假设点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。3、两条直线垂直：则两条直线垂直，则直线所在的向量4、韦达定理：假设一元二次方程有两个不同的根，则。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、直线与椭圆始终有交点，求的取值围解：根据直线的方程可知，直线恒过定点0，1，椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点
2、，在*轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，假设存在，求出；假设不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得由直线和抛物线交于两点，得即由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。解得满足式此时。题型三：动弦过定点的问题例题3、椭圆C：的离心率为，且在*轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。I求椭圆的方程；II假设直线与*轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点.并证明你的结论解：I由椭圆C的
3、离心率，,则得。从而椭圆的方程为II设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。题型四：过曲线上定点的弦的问题例题4、点A、B、C是椭圆E：上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)假设椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。解：(I)，且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，则
4、椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II)直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根，即同理可得：则直线PQ的斜率为定值。题型五：共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,数的取值围。解：设P(*1,y1),Q(*2,y2),(*1,y1-3)=(*2,y2-3)即判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得P、Q是曲线M上的两点即由韦达定理得：即由得，代入，整理得，解之得当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。总之实数的取值围是。题型六：面积问
5、题例题6、椭圆C：ab0的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。求椭圆C的方程；设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。解：设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。设，。1当轴时，。2当与轴不垂直时，设直线的方程为。由，得。把代入椭圆方程，整理得，。当且仅当，即时等号成立。当时，综上所述。当最大时，面积取最大值。题型七：弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系*Oy中，过定点C0，p作直线与抛物线*2=2pyp0相交于A、B两点。假设点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长
6、恒为定值.假设存在，求出l的方程；假设不存在，说明理由。依题意，点N的坐标为N0,-p,可设A*1,y1,B*2,y2，直线AB的方程为y=k*+p,与*2=2py联立得消去y得*2-2pk*-2p2=0.由韦达定理得*1+*2=2pk,*1*2=-2p2.于是.假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则.=令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法2：前同解法1，再由弦长公式得又由点到直线的距离公式得.从而，假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为将直线方程y=a代入得设直线l
7、与以AC为直径的圆的交点为P*2,y2,Q*4,y4,则有令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题8、如图21图，M-2，0和N2，0是平面上的两点，动点P满足：求点P的轨迹方程；假设,求点P的坐标. 解：()由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=所以椭圆的方程为 ()由得因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在PMN中，将代入，得故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.由()知，点P的坐标又满足，所以由方程组解得即P点坐标为问题九：四点共线问题例题9、设椭圆过
8、点，且着焦点为求椭圆的方程；当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在*定直线上解(1)由题意：，解得，所求椭圆方程为(2)方法一设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是，从而，1，2又点A、B在椭圆C上，即1+22并结合3，4得即点总在定直线上方法二设点，由题设，均不为零。且又四点共线，可设,于是12由于在椭圆C上，将1，2分别代入C的方程整理得3 (4)(4)(3) 得即点总在定直线上问题十：围问题本质是函数问题设、分别是椭圆的左、右焦点。假设是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；设过定点的直线与椭圆交于不同的
9、两点、，且为锐角其中为坐标原点，求直线的斜率的取值围。解：解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则以下同解法一显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即故由、得或问题十一、存在性问题：存在点，存在直线y=k*+m，存在实数，存在图形：三角形等比、等腰、直角，四边形矩形、菱形、正方形，圆设椭圆E: a,b0过M2，N(,1)两点，O为坐标原点，I求椭圆E的方程；II是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.假设存在，写出该圆的方程，并求|AB |的
10、取值围，假设不存在说明理由。解:1因为椭圆E: a,b0过M2，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为2假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取=. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上,|AB |的取值围为即:. z
