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1、2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数 学 试 题 2018.5注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分160分，考试时间120分钟2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置3答题时，必须用毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效4如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔方差公式：,其中.一、填空题：本
2、大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1若复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为 7 88 2 4 49 2（第4题图）2设集合，（其中a 0），若，则实数 3在平面直角坐标系xOy中，点到抛物线的准线的距离为 4一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为 （第5题图）S2xx2S1输出S结束开始输入xx1YN5右图是一个算法流程图，若输入值x，则输出值S的取值范围是 （第6题图）6欧阳修在卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之
3、高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 7已知函数在时取得最大值，则 8已知公差为d的等差数列的前n项和为，若，则 9在棱长为2的正四面体中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且，则三棱锥的体积为 10设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，则 11在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点满足则点的纵坐标的取值范围是 QPOBA（第12题图）12如图，扇形AOB的圆心角为90，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为 13已知函数 若存在
4、实数，满足，则的最大值是 14已知为正实数，且，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤ABCDPE（第15题图）15（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，点E为棱PB的中点（1）若，求证：PCBD；（2）求证：CE平面PAD 16（本小题满分14分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，且（1）求B的大小；（2）设向量，求mn的取值范围 17（本小题满分14分）下图（）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（）所示的数学模型索塔，与桥面均
5、垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔,距离之比为214，且P对两塔顶的视角为（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值（第17题图（）（第17题图（）PDCBA 18（本小题满分16分）如图，NDMCBAyxO（第18题图）椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A， B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线交
6、椭圆于点D，交x轴于点M(x1，0)，直线AC与直线BD交于点N(x2，y2).（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若，求直线的方程； （3） 求证：为定值. 19（本小题满分16分） 已知函数，.（1）若， 当时，求函数的极值（用a表示）； 若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；（2）函数图象上点A处的切线与的图象相交于另一点B，在点B处的切线为，直线，的斜率分别为，且，求满足的关系式. 20（本小题满分16分）已知等差数列的首项为1，公差为d，数列的前n项和为，且对任意的，恒成立（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；（2
7、）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果，数列的首项为1，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题1. 2. 3. 4 4. 20.8 5. 6. 7. 8. 2 9. 10. 4 11. 12. 13. 14. 二、解答题15. 证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD=CB，所以CBD为等腰三角形，所以BDCO 因为PB=PD，所以PBD为等腰三角形，所以BDPO 又POCO=O，所以BD平面PCO 因为PC平面PCO，所以PCBD （2）由E为PB中点，连EO，则EOPD，又EO平面PAD，
8、所以EO平面PAD 由ADB=90，以及BDCO，所以COAD，又CO平面PAD，所以CO平面PAD 又，所以平面平面PAD， 而平面，所以CE平面PAD 16. 解（1）由题意，有， 则，所以sinB=cosB 因为，所以，所以tanB=又0B，所以B= （2）由向量m=(sin2A,3cosA)，n=(3,2cosA)，得mn=3sin2A6cos2A=3sin2A3cos2A3=3 由（1）知B=，所以A+C=，所以0A 所以 所以 所以mn(6,33即取值范围是(6,33 17. 解（1）设，记，则， 由， 化简得 ，解得或（舍去）， 所以， 答：两索塔之间的距离AC=500米（2）设
9、AP=x，点P处的承重强度之和为.则，且， 即 （注：不写定义域扣1分）记，则， 令，解得，当，单调递减；当，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值. 答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为. 18. 解（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得 解得 所以，椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，设，因为，得，所以， 代入椭圆方程得或，所以或，所以的方程为：或. （3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程， 联立椭圆方程得：解得,. 由，得直线BD的方程：， 直线AC方程为， 联立得， 从而=2为定值. 解法2：设D坐标为(x3，y3）
10、，由C,M,D三点共线得，所以， 由B,D,N三点共线得，将 代入可得， 和相乘得，. 19. 解：（1）由及，得， 令，解得或.由知，单调递增，单调递减，单调递增，因此，的极大值为，的极小值为. 当时，此时不存在三个相异零点；当时，与同理可得的极小值为，的极大值为.要使有三个不同零点，则必须有，即. 不妨设的三个零点为，且，则， ， ， -得，因为，所以， 同理， -得，因为，所以， 又，所以. 所以，即，即，因此，存在这样实数满足条件. （2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n)，则，又，由此可得，化简得，因此， 所以，所以. 20. 解：（1）设数列的公差为，由， ， -得， 即，所以
11、为常数，所以为等差数列 （2）由得，即， 所以是与n无关的常数，所以或为常数 当时，符合题意； 当为常数时，在中令，则，又，解得，8分所以，此时，解得 综上，或 （3）当时， 由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即 当时，当时，也满足上式，所以 设，则，即，如果，因为为3的倍数，为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾 所以，则，即所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解连接OE，因为ED是O切线，所以OEED. 因为OAOE，所以1OEA. 又因为12，所以2OEA， 所以OEAC，ACDE21.B 解 由，得的一个解为3，代入得， 因为，所以. 21.C解 消去参数t，得到圆的普通方程为, 由，得,所以直线的直角坐标方程为. 依题意，圆心C到直线的距离等于，即解得.21.D 证明：因为a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2. 由柯西不等式：(1222)(a2b2)(a2b)2， 5(1c2)(1c)2，整理得，3c2c20，解得c1. 所以c1.
