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1、2.3双曲线 教材解读 一、知识精讲1、正确理解双曲线的定义一要注意不要将“绝对值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要注意“常数”的条件，即常数2a |F1F2|时，其轨迹不存在。2、准确把握双曲线的标准方程（1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。（2）两种双曲线的异同：相同点：形状、大小相同，都有a0，b0，c=a+b；不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。（3）判断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x轴上标准方程中x项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上标准方程中y项的系数为正。（4）与椭圆标准方
2、程的不同：双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；椭圆标准方程中是“+”号，双曲线标准方程中是“”号；双曲线方程和椭圆方程各有两种形式，其判断方法不同：对于双曲线和来说，如果x项为正的，则焦点在x轴上；x项的分母是a；如果y项为正的，则焦点在y轴上；y项的分母是a，a不一定大于b，这和椭圆有明显的不同。双曲线有两个顶点，离心率e1；而椭圆有四个顶点，离心率e0，b0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：渐近线方程为mxny0的双曲线的方程为：mxny（0且为常数）。与双曲线1（a0，b0）有共同渐近线的双曲线方程可设为（0且为常数）。（4）实轴
3、与虚轴相等（即a=b）的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线为y=x，离心率e=。二、方法点拨 1、应用双曲线的定义和标准方程解题时，应注意：（1）动点是否满足双曲线的准确定义。（2）条件“2a3时，有k30,k+30，所以方程 表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=4 是可以的，这不在k3里故应该选A2、双曲线的几何性质的考查 双曲线的几何性质作为是高考的重点和热点之一，高考中必定考查，有离心率的题目出现上升趋势。例2已知双曲线 =1(a)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为A.2 B. C. D.解法1：双曲线(a)的两条渐近线的夹角为，则，所以 a2=6，双曲线的离心率为 ，选D解法2：认
4、识两条渐近线的夹角和几何量之间的关系,构建方程有,选D;3、双曲线有关的综合问题以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，是高考考查的重点，也是我们学习中的难点。例3已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点。如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积。分析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知， 故曲线的方程为 设，由题意建立方程组 消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得又因为 依题意得 整理后得 或 但 故直线的方程为设，由已知，得所以，又，即点将点的坐标代入曲线的方程，得 得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意所以，点的坐标为到的距离为 所以的面积
