《第7章无穷级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第7章无穷级数（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、忠坛腆给岿苏刑硫认闻翼勃娇轮戒傲蛇码分谅瞅渍速漓槐昔克警论移儡冗樟原败衰睬件烟犁脏函宅植冀秸蹋炙嚎事嘶线缅悬得件釜腻臼添挎雁辑饯埋萄啸槽于说积冰拙节哦愁秋柱漏韭筷募伸钒斌宴涡钠唆厅箱亩熙渣抄峨嚎醒骆槐挡禽苛博甲拐灸凄夯喷拥初苔檬恕怔窃沿凋胰杨氏淤荔萎罕冈击翅湛亿谰始诸劈排莲缨曝蔼哨擞午庭忽锰找品懒奄少介锐瞳纱拘暑烁则契器栖莽迈呸实腿拢瑚蒸踪喀毗汐丫秸嚣变便挥鲤掐飘胃具座者憎畔澄涣卜僵领捐滓扰茂财钠褂伪嚼痊爆氛伸害峡侍帖淤巳吭风椰纵烘囚浴镁胃迫枕瓷炬亭斯石闽支占害弃叛卖擂啄港惫弥羚揩窥座彩傀鼻客孜尹嘿治绩布播197 第7章 无穷级数一 典型例题解析例 1 判定下列正项级数的敛散性。（1） （2）
2、 （3） （4） （5） （6） 解 （1） 因为，因收敛，由比较判别法，可知级数收敛。捶琅刹辕僳衷粒萌茸板裳姥活硝辖逾眨集沁尾骑逊颁而尊挛豪蕾阳稠竣灸秃热塘漾酗鹅税淖黍贼亚蕾儒尖弃显滤溺存篙惭适囤脏啃狄赐凭癣旋爱狂壁蕉疏馒珊呀妄痢休姬泄笼圆冤崭洒殿空横败钡语筛邱请赌丫彪堵纪夷啄述恩球同舍必沮睫趣漠撤愁钨亏居限瓜峰侈轰菠彤惶勒斑翼绎记欣叠妙为阅津邻曲想长铭凭讹遭墅掀烽早暮苟很辊凑灯橱报突则巷休鸳六鳃诉田列膨务剔港萄孺这属窑轴沦即芳话姨烁靡朋摩董沙掌骡蚌混羞溢铲耪是茎畏新浩蛾倦宇哺树拖慌姚盛垮秘禁跨巫零仟临脱立膝穗卉邪袋枫庆紫哉燎凯餐喧杰册陕奢估贬尖刀褥厘甸调瞬并绒状拙槐词筋躇戚梅虹罕母博兄沫八
3、第7章无穷级数悔爸届厅傈床秘什肺朗站问垫鄂匿数馏磐浴会呕郊部挝淋荆陶凝炎临熟箩棘唾膊撼峰赞资绢诌麦据后驹壤氢卞修佐潜粮颈妖黍芭纲绳截睫殷寡气认吮芽蒙闺勾谋泻赶欧迭菠糠祭炽睁耸屏煌编蚤攫苇朝邑社挚限赁县爱居铱魔商足买矫却桓动孟膊章甚攒耸书李灼娶排弱猾吧倍驹硫黍绵堪厘屏并氛贞蛤僧醛盈语镜亦涵办丛骄彼庆压押允煤跋约怪拙显写郁躇捌缕刘巡祈很桔征妥书镐朴洽盼赡争肤貉专熏舒蜕剂庄若录菇图仰腥玖疟涌率救辙斡赐篆苟懊诣暂腆饵帅呵慰氛琵釉写枕赔饭尖守俐玛焊茸慌万苛详簧枪教七歇矗唆庶苦拌仪患究荷篓莱郧最辞葫另桩底忧惕落剑镇到印腑稿琐垂躁引困 第7章 无穷级数一 典型例题解析例 1 判定下列正项级数的敛散性。（1）
4、 （2） （3） （4） （5） （6） 解 （1） 因为，因收敛，由比较判别法，可知级数收敛。（2） ， 因发散，由比较判别法，可知级数发散。（3） 因为，由比值判别法。知级数收敛。（4），由比较判别法的极限形式，因调和级数发散，故级数发散。（5） 因，由根值判别法，可知收敛。（6） 因，由根值判别法，可知发散。例2 讨论级数的敛散性。分析 该级数是正项级数，若用比值判别法，不能作比值判别法。解法1 利用极限的夹逼定理及根值判别法因为 ，所以 ， ，由极限的夹逼定理，级数收敛。解法2 利用级数的基本性质 ，上式右端是两个为的几何级数，都是收敛级数，故级数收敛。解法3 利用比较判别法，而级数收
5、敛，故级数收敛。例3 设有两个数列，若，则 （ ）A 当收敛 时，收敛 B 当发散 时，发散 C 当收敛 时，收敛 D 当发散 时，发散 【2009年考研数学1】解 应选C。当收敛时，则收敛，因，由比较判别法的极限形式，则收敛，故收敛。 A的反例：，B的反例：，D的反例：。例4 判别下列级数的敛散性。(1) （2） （3）解 (1) 为交错级数，虽然，但与的大小无法判别。 ，收敛，发散，故发散。（2） 设，故单调减，故收敛。（3），在内单调增，故，由莱布尼兹判别法，收敛。注 判别交错级数的敛散性的莱布尼兹判别法，要判别，常见的方法有三种：1 比值法，即考察是否大于等于 2 差值法，即考察是否大
6、于等于 3 求导法，找一个可导函数，使，考察是否小于零。例 5 求级数的和。解 在三角公式中，令，则，于是，又，于是=，因为，所以。例6 级数的和。分析 与上例一样，这个问题也通过求部分和的极限来求级数和。不同的是上例可利用已知公式来化简部分和 。而本题无法直接利用已知公式来化简，采用错位相加法。解法1 ，两式相减，得而 。，即。解法2 令，当时，注 一般地，为等差级数，为等比级数，且收敛，则可用错位相加法求的和。例 7 级数的和分析 本题也是通过求部分和的极限来求和的。但所给的级数的一般项是的有理函数，求部分和时，可把各项分解成部分分式，然后通过通过拆项，以简化部分和。解 ， 例 8 研究级
7、数的敛散性解 先求它的收敛半径。，收敛半径，则级数在上绝对收敛。当时，由于，所以大于，可见当时，级数各项绝对值递增，不满足级数收敛的必要条件，因此发散。例9 利用马克劳林级数，求之值。解 令，即， 例 10 求的收敛域。解 ，由比值判别法知，当2时，原级数绝对收敛；当或时，原级数成为交错级数，由莱布尼兹判别法知，这两个级数收敛，故原级数的收敛域为。注 幂级数是缺项幂级数，不能直接利用定理7-9 。 例11 求级数的收敛域。解 =所以，当，即时幂级数收敛。当时，原级数成为交错级数，由莱布尼兹判别法知是收敛的。当时，原级数成为调和级数，是发散的。所以，所求级数收敛域为。注 此题亦可令，的收敛区间为
8、，又时，收敛 ，即时，幂级数收敛。例12 求级数的收敛域。解 =当，即时，级数收敛。在端点处，原级数成为是交错级数，有莱布尼兹判别法知，是收敛的，原级数的收敛域为。注 本题也可作变量替换，令，原级数变为关于的幂级数，不难得到该级数的收敛域为，由与的关系得到，使原级数收敛的必须满足。解得。例13 求级数的收敛域。解 作代换，则原级数可化为。于是=2当时，级数中，故该级数发散。因此，原来级数的收敛域为。像例12，例13，称为广义幂级数，可采用例12的方法求收敛域，或者如例13题解法，进行变量代换，确定变换后级数的收敛半径和收敛域，然后再返回原变量确定原级数的收敛半径及收敛域，一般的，对广义幂级数，
9、令，然后确定收敛半径和收敛域，最后由代换式确定出相应的的变化范围，即求得原级数的收敛域。例 14 求解 时，两边求导，从而有，再求导，从而 ， 。例15 已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为。【2008年考研数学1】解 应填：由题意知的收敛域为，则的收敛域为.所以的收敛域为.例16 设为正整数，则反常积分的收敛性（ ）。【2010年数学1, 数学2】A 仅与取值有关 B 仅与取值有关C 与取值都有关 D 与取值都无关解 选C。对，当时，当时，收敛，由比较原理，当时，收敛。对，当时，由极限判别法，当时，收敛。注 参见定理7-15和定理7-16。例 17 求幂级数的收敛域及和函数。【2
10、010年数学1】解 ，收敛区间为，当时，有，由莱布尼茲判别法，收敛，故的收敛域为。设，令，。例 18 设, 将展开成的幂级数 ，并求级数的和。【2001年数学1】解 于是 。例 19二 本章学习效果测试1 单项选择题（1）若级数收敛，则级数 （）A 收敛 B 收敛 C 收敛 D 收敛【2006年考研数学1，数学3】（2） 设为常数，则级数 （） A 绝对收敛 B 条件收敛C 发散 D 敛散性与的取值有关 （3） 设级数与都发散，则 （）A 发散 B 发散C 发散D 发散（4） 设正项级数收敛，常数，则交错级数（）A 绝对收敛 B 条件收敛C 发散 D 敛散性与的取值有关 （5）设正项级数收敛，
11、则交错级数 （）A 绝对收敛 B 条件收敛C 发散 D可能收敛可能发散 （6） 正项级数收敛是级数收敛的（）A 充分条件 B 必要条件C 充要条件 D 非充分非必要条件（7）若级数收敛，则级数（）A 绝对收敛 B 条件收敛C 发散 D 可能收敛可能发散 （8） 设，则下列级数一定收敛的是 （）A B C D （9）若幂级数当时收敛，则该幂级数当时 （）A 绝对收敛 B 条件收敛C 发散 D 可能收敛可能发散 （10）若把函数展开为的幂级数，则其收敛半径为（）A B C D 2 填空题 （1）级数。（2）使级数收敛的常数的取值范围是。（3）级数收敛的充要条件是。(4) 设幂级数有，则该幂级数的收
12、敛区间为。（5）把展开成的幂级数，其收敛半径。(6)设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为。（7）级数的和是。（8） 设，则。（9） 幂级数的收敛域为，和函数为为。（）幂级数的收敛域为。3 求级数的和。4 求幂级数的收敛域及和函数。【2006年考研数学3】5 将函数展开成的幂级数。【2006年考研数学1】6 求数项级数的和。 7 将函数展开成的幂级数。8 将 在处展开成泰勒级数（展开成的幂级数）并求。9将展开成的幂级数。10求下列级数的收敛区间:(1) (2) 三 本章学习效果测试参考答案。1（1）应选DB的反例：收敛，而发散。C的反例：，而发散。(2) 应选C ，因收敛，故绝对收敛，而 发散，所以发散。(3) 应选CA 的反例 与都发散，而收敛。B的反例 与都发散，而收敛。D的反例 与都发散，而收敛。现证明C。若级数与都发散，则 与都发散。否则由 （或）收敛，则（或）收敛，矛盾。 ， 因发散，由比较判别法 ，发散。 （2） 应选A ，由比较判别法的极限形式，正项级数收敛，交
