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1、高等数学 B（上）试题 1 答案一、判断题（每题2 分，共 16 分）（在括号里填写“”或“”分别表示“对”或“错”）（ ）1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.（ ）2.闭区间上的间断函数必无界 .（ ）3.若 f ( x) 在某点处连续，则f (x) 在该点处必有极限 .（ ）4.单调函数的导函数也是单调函数.（ ）5.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ ）6.yf ( x) 在点 x0 连续，则 yf (x) 在点 x0 必定可导 .（ ）7.若 x0 点为 yf ( x) 的极值点，则必有 f (x0 )0 .（ ）8.若 f (x) g (x) ，则 f (x)g(x) .二、填空题
2、（每题3 分，共 24分）1.设 f ( x 1)x 2 ，则 f (3)16 .2 lim x sin 1 1。xxlim x sin 11 sin xx3.2x1e2.xxxx4.曲线 x26 yy3 在 (2,2)点切线的斜率为2.35设 f ( x0 )A ，则 limf ( x02h)f ( x03h) 5A.h 0h6.设 f ( x)sin x cos 1 , ( x0) ，当 f (0)0时， f ( x) 在 x0点连续 .x7.函数 yx33x 在 x1处有极大值 .8.设 f ( x) 为可导函数 , f(1)1 ， F ( x)f1f (x2 ) ，则 F (1)1 .
3、x三、计算题（每题6 分，共 42 分）1求极限(n2)( n 3)(n4)lim5n3.n解： lim(n 2)(n 3)(n 4)3n5nlim12134（3 分）1nnnn1lim x x cosx .（3 分）2.求极限x0xsin x解： lim xx cosxx 0xsin xlim 1cos xx sin x（2 分）x01cosxlim2sin x x cos x（2 分）sin xx03（2 分）3.求 y( x1)(x2) 2 (x3)3在 (0,) 内的导数 .解： ln yln( x1)2ln( x2)3ln( x3) ，（2 分）y123，（2分）yx1 x2 x3故
4、 y( x 1)( x2) 2 ( x 3)3123（2 分）x1 x2 x34.求不定积分2x21dx .2x11x解：1x2 dx11 2 d(1x2 )12 dx（3 分）x1xln(1x2 )arctan xC（3 分）5.求不定积分x sin x2dx .解：xsin x2dx1sin x2d x2（3 分）21cosx2C（3 分）26求不定积分x sin2xdx .解：x sin 2xdx11xdcos2xx sin 2xd(2x)221cos2xdxx cos2x21 x cos2x1 sin 2xC24（ 2 分）（ 2 分）（ 2 分）7. 求函数 ycosx的导数 .si
5、n x解： ln ycos x ln sin x（3 分）ysin xcosx12 x lnsin x（3 分）cot四、解答题（共9 分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20 米长的墙壁 , 问应围成的长方形的长 ,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x ，所以，面积为 Sx(202x)2x220 x ，（3 分）由 S4x200 ，知（3 分）当宽 x5时，长 y202x10 ，（3 分）面积最大 S 5 1050 （平方米）。五、证明题（共9 分）若在 (,) 上 f( x)0, f (0)0 . 证明： F ( x)f ( x),0) 和 (0,) 上单调x在区间 (增加 .证明： F ( x)xf(x)f (x)，令 G (x)xf ( x)f ( x)（2分）x2G (0)0f (0)f (0)0 ，（2 分）在区间 (,0) 上， G ( x)xf( x)0，（2 分）所以 G( x)G(0)0 ，单调增加。（2 分）在区间 (0,) 上， G ( x)xf(x)0 ，所以 0G (0)G (x) ，单调增加。（1 分）
