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1、解析几何专题复习例 1.如图，在直角梯形 ABC D 中，AD _ AB, BC _ AB , AD =3, AB =4, BC =3，点 E在线段AB的延长线上.曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等.(1)(2)M 、建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；试问：过点C能否作一条直线丨与曲线段DE相交于N，使得线段M N以C为中点？若能，则求直线 I 的方程；若不能，则说明理由.解：(1)以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点, 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(_2, 0), B(2, 0), C(2, k3), D ( -2, 3).AD BD =3 -5 =8 ? AB
2、 ，.依题意，曲线段 D E是以A、B为左、右焦点，长轴长为 的椭圆的一部分. 故曲线段D E的方程为2 2x y 1(x _ _2, y _ 0).16 12(2)设这样的直线l存在，由直线x =2与曲线段DE只有一个交点(0, 3),知直线l存在斜率，设直线l 的方程为 y = k (x - 2),即 y = k(x - 2)：；卜.：；3,2 2将其代入=1得16 12(3 - 4k2)x2(8、.3k16k2)x16k216、3k36=0分设 M (xyj, N(X2,y2)，则由=2,知 X! - X2 =4,.8、3 k1623 - 4k12时，方程化为:2x 4 x =0，解得
3、X1 = 0, X2 = 4.即 M (0, 2 3), N (4, 0)，适合条件.故直线I存在，其方程为y = - 一 x 亠 2、3,即 、3x 亠 2 y -4 、3 = 0.练习。2 2x yC i ： r + r =1( a A b 0)22例2设椭圆a b，抛物线C2 ： x by =b（1）若C2经过Ci的两个焦点，求Ci的离心率；（2） 设A（ 0，b）， q IJ35 i，又M、N为Ci与C2不在y轴上的两个交点，若 AMNI 4丿3的垂心为Bio, b，且 QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程。I 4丿【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来
4、确认方程。（1）由已知椭圆焦点（c,0）在抛物线上，可得:222 厶 Ci:2=b c =2c,有 - e=。a22由题设可知 M、 N关于y轴（Xi，yj N （Xi，y（Xi . 0）,由, ：AM N 的垂心为B，有c一 23BM AN = 0 = -xi - (yi b)( yt - b) = 0。4故Xi22由点N（Xi，yJ在抛物线上，x by b，解得:yi4b,M (-by/5b口b, ), N ( b, )，得.：Q M N4重心坐标（.3, b）4由重心在抛物线上得:2 =b2,所以 b=2，M （一讳，-一），N 5,-），又因为 M422N在椭圆上得：2 2216xy2
5、a，椭圆方程为i，抛物线方程为x 2y =4 。343例3 点A、B分别是椭圆=1长轴的左、右端点，点3620F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于 x轴上方，PA _ PF .（1）求点P的坐标；（2） 设M是椭圆长轴AB上的一点，M至煩线AP的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点 M的距离d的最小值.思路分析：设椭圆上动点坐标为（x,y），用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值.解(1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4)-2 2x y13620(x 6)(x 一4)设点 P(x,y),则 AP=x+6, y,FP=x 4, y ,由已知可得23、则 2x +
6、9x 18=0, x =或 x = 6.3由于y 0,只能x =2235（3 点P的坐标是（一，-）2 2lm + 6直线AP的方程是x - 3 y +6=0.设点M（ m ,0）,则M到直线 AP的距离是 2十口 m + 6于疋=m +6，又一 6Wn 6解得 m =2.2椭圆上的点（x , y倒点M的距离d有222252 492d （ x2 ） y x -4 x 42 0x（x ），159929i由于一6/3kX1 x =k,X1 x-4-12 2k由已知=0得:X1 X22 b二(1y“2a2k+)X1X241=x1 x ( kx143k(X143 -X2)-4k241彳 3k - =
7、0,解得 k =2k 44(1)当直线AB斜率不存在时，即X1 = X2, y1 - -y2,由 m n = 02X1_ 2=0 = y1= 4x1在椭圆上，所以2X124X1=1 =4Xi,y12=- 2s = _ X1y1 _y?= 一 X1 2 y1=1y = kx b y2.4(k2 2-4)x 2kbX b_4 =0得到x,x2 理k +4X1X22b -42k - 410分X1X2X1X2(kX! - b)( kx 2 +=0代入整理得22b k=4|b1厂12AB=|b | J(12分! 2 22| b| 4k -4b 16x,：. x2) -4 x,x2k +4.4b 212
8、|b |所以三角形的面积为定值14分2已知双曲线C的方程为与a2X2 b，(a.0,b，0)，离心率e二，顶点到渐近线的距离为2(I) 求双曲线C的方程；(II) 如图，P是双曲线C上一点,1A, B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP二 PB. =, 2，求lAO B面积的取值范围。解析： 解法1(I)由题意知，双曲线ax -by2嘉=0的距离为,5所以ab/22-a bC的顶点(0, a)到渐近线c-a2c5二22ab =1C =2所以曲线C的方程是L _x2 =14（H）由（I）知双曲线 C的两条渐近线方程为 y=2x设 A(m,2m),B( -n,2n), m
9、. 0, n .0),由AuP/uB得p点的坐标为（吻,空凹1+九1+九2y 2将P点的坐标代入丁 X宀 2=1,化简得 mn= 4丸1因为AO B = 2 k tan (- v) = 2, tan，- , sin22又 OA| = 45m, OB1 所以S心OB = OA211记 S( )() 1, 三一，22”-1(12则 S ( )由 S ( )小1 OB *sin 2日=2mn =2( )-11s（）3当 =1时，.AOB面积取到最小值 2，当当18时，：AOB面积取到最大值-33=2,8所以：AOB面积范围是2,3例5.（重点班做，普通班选做）已知以原点O为中心，F 、5,0为右焦点
10、的双曲线 C的离E心率e丄。2(I) 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；(II) 如题(20)图，已知过点M x1, y1的直线l1 : xx 4 y14与过点N x2, y2(其中X2 ；匸x )的直线12 : X2X 4y?y =4的交点E在双曲线C上，直线MN与 两条渐近线分别交与 G、H两点，求：OGH的面积。解：(I )设的标准方程为4-4 = I (a 0,a o5 0)，则由题意 c = e =1t因此盘=2,= J2 - / = 1,Q的标准方程为C的渐近线方程为y =|,即=0和答(20)图X + 2y =0*(D) M法一:如答(20)图，由题意点EgyJ在直线h咛+4灯=4和+4注-4上因此有和如十你九=4,呵环+= 4,故点M、N均在直线xx + 4yfy = 4上，因此直线MN的方理为xx + 4畑=4 设分别是直线MV与渐近线X - 2y = 0及x +2y = 0的交点，岸卢 + 4yy = 4, pi 护 + 4兀 y = 4,由方程组及lx - 2y = 0
